MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

No triângulo equilátero ABC, H corresponde ao ponto médio do lado AC. Desse modo, a área do triângulo ABH é…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

No triângulo equilátero ABC, H corresponde ao ponto médio do lado AC. Desse modo, a área do triângulo ABH é igual à metade da área de ABC. Sendo W o perímetro do triângulo ABH e Y o perímetro do triângulo ABC, uma relação correta entre W e Y é: (UERJ 2018)

A) 0 < W < Y/2
B) W = Y/2
C) Y/2 < W < Y
D) W = Y

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Seja s a medida do lado do triângulo equilátero ABC. Então Y = 3s, pois o perímetro de ABC é a soma de seus três lados iguais.
Como H é o ponto médio de AC, temos AH = HC = s/2.
No triângulo equilátero, a mediana BH também é altura, pois H é ponto médio de AC. Logo BH é perpendicular a AC e, pelo teorema de Pitágoras, BH^2 = s^2 - (s/2)^2 = 3s^2/4, o que dá BH = s raiz de 3 / 2.
O perímetro do triângulo ABH é W = AB + AH + BH = s + s/2 + s raiz de 3/2 = s(3 + raiz de 3)/2, aproximadamente 2,366s.
Comparando com Y/2 = 1,5s e com Y = 3s, temos 1,5s < 2,366s < 3s, ou seja, Y/2 < W < Y.
Assim, a alternativa C está correta, em conformidade com o gabarito oficial. A alternativa A está errada, pois W é maior que Y/2. A alternativa B está errada, pois W não é igual a Y/2. A alternativa D está errada, pois W é menor que Y, já que ABH não contém o lado BC.
O fato de a área de ABH ser metade da área de ABC não implica que o perímetro também seja reduzido pela metade; áreas e perímetros não se comportam da mesma forma.

💡 Dica: Calcule perímetros usando propriedades do triângulo equilátero e ponto médio.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceitual

Supõe que, como a área de ABH é metade da área de ABC, o perímetro também cai pela metade ou fica abaixo disso, confundindo grandezas de área com grandezas de comprimento.

B Erradaerro: Conceituala que mais engana

Assume que o perímetro de ABH é exatamente metade do perímetro de ABC por analogia com a área, sem calcular o comprimento da altura BH.

Por que engana: Confundir relação entre perímetros e áreas, ou calcular perímetro do triângulo menor incorretamente.

C Correta

CORRETA. O perímetro de ABH é composto por dois lados iguais ao lado do triângulo original e um lado igual à metade desse valor, totalizando mais que Y/2, mas menos que Y.

D Erradaerro: Interpretação

Trata H como se fosse C, achando que ABH tem os mesmos lados que ABC e, portanto, o mesmo perímetro, sem perceber que o lado BC não faz parte de ABH e que AH é apenas metade de AC.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ direta🧩 progressao

🎯 Conceito central

perímetro triângulos equiláteros

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

propriedades triângulo equilátero · ponto médio segmento

📚 Reveja

Estude perímetro e propriedades de triângulos equiláteros e pontos médios.

⚠️ Erro mais comum

Confundir relação entre perímetros e áreas, ou calcular perímetro do triângulo menor incorretamente.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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🔎 Resolver outra questão

Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

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