Num triângulo ABC traçam-se, por A, duas retas paralelas a BC que cortam AB e AC dividindo a altura a partir…

Questão

Num triângulo ABC traçam-se, por A, duas retas paralelas a BC que cortam AB e AC dividindo a altura a partir de A em três segmentos iguais. Quantos triângulos formados são semelhantes a ABC? Qual a razão entre a área do menor desses triângulos e a área de ABC?

1. A) Há 2 triângulos semelhantes; razão = 1/8
2. B) Razão = 1/2
3. C) Há 3 triângulos semelhantes; razão das áreas (menor)/(ABC) = (1/3)² = 1/9.
4. D) Razão = 1/6
5. E) Há 4 triângulos semelhantes; razão = 1/4

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Interpretação do enunciado. Duas retas por A não podem ser ambas paralelas a BC, pois coincidiriam. O enunciado deve significar duas retas paralelas a BC, cada uma cortando AB e AC, que dividem a altura relativa a A em três partes iguais. Passo 2: Resolução. Seja h a altura de A até BC. As retas paralelas a BC estão a h/3 e 2h/3 de A. Passo 3: Triângulos semelhantes. O triângulo menor, com vértice em A e altura h/3, tem razão de semelhança 1/3 em relação a ABC. O triângulo intermediário, com vértice em A e altura 2h/3, tem razão 2/3. O próprio ABC tem razão 1. Esses três são semelhantes a ABC pelo critério AA (paralelismo com BC), portanto há 3 triângulos semelhantes. Passo 4: Razão de áreas. Áreas de triângulos semelhantes estão na razão do quadrado da razão de semelhança. Para o menor, (1/3)^2 = 1/9. Passo 5: Conferência com o gabarito. O gabarito C está correto. Alternativa A está errada porque o número de triângulos é 3, não 2, e a razão 1/8 não corresponde a nenhum quadrado de razão de semelhança. Alternativa B está errada porque 1/2 é uma razão linear que não aparece na divisão em três partes iguais. Alternativa D está errada porque 1/6 não é quadrado de nenhuma fração que surja da divisão em três partes. Alternativa E está errada porque conta 4 triângulos, o que exigiria figuras que não são triângulos (como trapézios), e a razão 1/4 corresponde a divisão ao meio, não em terços.

💡 Dica: Analise as semelhanças entre os triângulos formados.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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