No triângulo retângulo ABC com ângulo reto em A, seja H a projeção de A sobre a hipotenusa BC (AH ? BC). Prove…

Questão

No triângulo retângulo ABC com ângulo reto em A, seja H a projeção de A sobre a hipotenusa BC (AH ? BC). Prove que AB² = BH·BC, AC² = CH·BC e AH² = BH·CH, usando semelhança de triângulos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como AH ? BC, os triângulos ABH, AHC e ABC formam pares de triângulos semelhantes. De ABH ~ ACB: AB/BC = BH/AB ? AB² = BH·BC. De AHC ~ ABC: AC/BC = CH/AC ? AC² = CH·BC. De ABH ~ AHC (ângulos correspondentes), AH/CH = BH/AH ? AH² = BH·CH. Assim obtêm-se as três igualdades por semelhança.

Explicação

A utilização da semelhança de triângulos permite estabelecer relações proporcionais entre os lados dos triângulos envolvidos. As igualdades derivadas são resultado direto dessas proporções, que demonstram a relação entre os segmentos de reta. Assim, as relações obtidas são válidas e fundamentadas nas propriedades dos triângulos semelhantes.

Raio-X da questão

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