No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, seja CH a altura traçada até a hipotenusa AB. Usando semelhança de…

Questão

No triângulo retângulo ABC com ?C = 90°, seja CH a altura traçada até a hipotenusa AB. Usando semelhança de triângulos, demonstre que AC·BC = AB·CH e, a partir disso, deduza CH = (AC·BC)/AB.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Traçando a altura CH obtemos os triângulos ?ACH, ?CHB e ?ABC. Note que ?AHC = ?C (ambas são 90°) e ?A é comum entre ?ACH e ?ABC, portanto ?ACH ~ ?ABC. Pela correspondência de lados na semelhança, o lado oposto ao ângulo reto em ?ACH (AC) corresponde ao lado oposto ao ângulo reto em ?ABC (AB), e o cateto CH em ?ACH corresponde ao cateto BC em ?ABC. Assim AC/AB = CH/BC. Multiplicando em cruz obtemos AC·BC = AB·CH. Isolando CH segue CH = (AC·BC)/AB, como pedido.

Explicação

A explicação utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer uma relação entre os lados dos triângulos formados pela altura CH e os lados do triângulo original ABC. A relação de semelhança permite a aplicação da proporção entre os lados correspondentes, levando à equação que relaciona AC, BC, AB e CH. A manipulação algébrica da equação resulta na expressão final para CH, demonstrando a relação desejada.

Raio-X da questão

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