Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da aresta BC é M. O cosseno do ângulo AMD equivale a: (UERJ 2017)
- A) 1/2
- B) 1/3
- C) 2/3
- D) 2/5
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como todas as seis arestas do tetraedro regular são congruentes, cada face é um triângulo equilátero de lado 6 cm. Passo 2: M é o ponto médio de BC, então AM é a altura do triângulo equilátero ABC e DM é a altura do triângulo equilátero DBC. Passo 3: A altura de um triângulo equilátero de lado L é L vezes raiz de 3 dividido por 2. Logo AM = DM = 6 vezes raiz de 3 dividido por 2 = 3 raiz de 3 cm, e portanto AM^2 = DM^2 = 27. Passo 4: No triângulo AMD, os lados são AM = DM = 3 raiz de 3 cm e AD = 6 cm, pois AD é uma aresta. Passo 5: Pela lei dos cossenos no triângulo AMD: AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 vezes AM vezes DM vezes cos(AMD). Substituindo: 36 = 27 + 27 - 54 vezes cos(AMD), ou seja, 54 vezes cos(AMD) = 18, e cos(AMD) = 1/3. Passo 6: A alternativa B é a correta. A alternativa A (1/2) está errada porque corresponderia a um ângulo de 60 graus, o que só ocorreria se AMD fosse equilátero, e isso não acontece, já que AM é menor que AD. A alternativa C (2/3) surge apenas se o denominador 54 for trocado por 27, esquecendo o fator 2 da fórmula. A alternativa D (2/5) não é resultado de nenhum cálculo correto com os comprimentos AM, DM e AD.
💡 Dica: Use propriedades do tetraedro regular e cálculo vetorial para encontrar o cosseno do ângulo.
Alternativa por alternativa
Supõe que o triângulo AMD é equilátero, porque todas as arestas do tetraedro são iguais, e então atribui ao ângulo AMD o valor de 60 graus, cujo cosseno é 1/2. Esquece que AM e DM são alturas e não arestas.
Por que engana: Confundir propriedades do tetraedro regular ou calcular incorretamente o vetor ângulo.
CORRETA. O cosseno do ângulo AMD é 1/3, resultado obtido ao calcular os vetores AM e MD no tetraedro regular e aplicar o produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.
Calcula corretamente os lados AM, DM e AD, mas na lei dos cossenos esquece o fator 2 do denominador e divide 18 por 27, obtendo 2/3.
Interpreta mal o segmento AM ou o triângulo considerado, usando comprimentos que não correspondem às alturas dos triângulos equiláteros das faces, o que leva a um valor de cosseno que não corresponde ao ângulo pedido.
Raio-X da questão
tetaedro regular e cosseno
avaliacao
geometria espacial básica · cálculo vetorial básico
Estude propriedades do tetraedro regular e cálculo de ângulos entre vetores.
Confundir propriedades do tetraedro regular ou calcular incorretamente o vetor ângulo.
tomada_decisao
abstrato
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