MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0,4) e B(2,0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P(x0,0), sendo 0 = x0 = 2. Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0,0), A e B, o valor de x0 deve ser igual a: (UERJ 2017)

A) 2 - √2
B) 3 - √2
C) 4 - 2√2
D) 5 - 2√2

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

A reta r passa por A(0,4) e B(2,0). Seu coeficiente angular é (0-4)/(2-0) = -2, logo a equação é y = 4 - 2x. Passo 2: A área S é limitada pelos eixos, pela reta r e pela vertical x = x0, com 0 ≤ x0 ≤ 2. Ela é um trapézio de bases 4 (em x = 0) e 4 - 2x0 (em x = x0) e altura x0. Assim S = (4 + 4 - 2x0) * x0 / 2 = 4x0 - x0^2. Passo 3: O triângulo CAB tem base 2 (sobre o eixo x, de C(0,0) a B(2,0)) e altura 4 (até A), logo sua área é 2 * 4 / 2 = 4. A metade dessa área é 2. Passo 4: Impõe-se S = 2, ou seja, 4x0 - x0^2 = 2, que equivale a x0^2 - 4x0 + 2 = 0. Passo 5: Pela fórmula de Bhaskara, x0 = (4 ± raiz de 8) / 2 = (4 ± 2 raiz de 2) / 2 = 2 ± raiz de 2. Passo 6: Como 0 ≤ x0 ≤ 2, a raiz 2 + raiz de 2 (aproximadamente 3,41) é descartada, restando x0 = 2 - raiz de 2 (aproximadamente 0,59), que é a alternativa A. Passo 7: Por que as outras estão erradas: B (3 - raiz de 2) é maior que 2 e fica fora do intervalo permitido; C (4 - 2 raiz de 2) não satisfaz a equação x0^2 - 4x0 + 2 = 0; D (5 - 2 raiz de 2) também fica fora do intervalo e não é raiz dessa equação.

💡 Dica: Calcule a área do triângulo e use a condição da metade para encontrar x0.

Alternativa por alternativa

A Correta

CORRETA. O valor x₀ = 2 - √2 satisfaz a condição de que a área S seja metade da área do triângulo formado pelos pontos C, A e B.

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

O aluno provavelmente resolveu corretamente a equação de área, mas não verificou a restrição 0 ≤ x0 ≤ 2 e aceitou uma raiz de um polinômio com erro de coeficiente, como x^2 - 6x + 7 = 0, em vez de x^2 - 4x + 2 = 0.

Por que engana: confundir a área total com a metade ou erro no cálculo da área sob a reta.

C Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente escreveu a área de S ou a área do triângulo com coeficientes errados, chegando a uma equação do tipo x^2 - 8x + 8 = 0, cujas raízes são 4 ± 2 raiz de 2. Ele escolheu a menor raiz sem ter a equação correta.

D Erradaerro: Atenção

O aluno provavelmente cometeu erro no cálculo da raiz (sinal ou radical) e obteve 5 - 2 raiz de 2, valor que está fora do intervalo 0 ≤ x0 ≤ 2 e que ele não conferiu.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

área de triângulo e integrais

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

geometria analítica básica · cálculo de áreas por integrais

📚 Reveja

estude cálculo de áreas por integrais e propriedades de triângulos

⚠️ Erro mais comum

confundir a área total com a metade ou erro no cálculo da área sob a reta.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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🔎 Resolver outra questão

Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

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