Em uma atividade nas olimpíadas de matemática de uma escola, os alunos largaram, no sentido do solo, uma…

Questão

Em uma atividade nas olimpíadas de matemática de uma escola, os alunos largaram, no sentido do solo, uma pequena bola de uma altura de 12 m. Eles observaram que, cada vez que a bola toca o solo, ela sobe e atinge 50% da altura máxima da queda imediatamente anterior. Calcule a distância total, em metros, percorrida na vertical pela bola ao tocar o solo pela oitava vez. Calcule a distância total, em metros, percorrida na vertical pela bola ao tocar o solo pela oitava vez. (UERJ 2017)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(PG: 12, 6, 3, \frac{3}{2}, ..., a_7) 12 + S_7 a_1 = 1^\circ \text{ termo} = 12 q = \text{razão} = 1/2 n = \text{n}^\circ \text{ de quedas} = 7 S_n = \frac{a_1 \left[q^n - 1\right]}{q - 1} S_7 = 12 \left[\left(\frac{1}{2}\right)^7 - 1\right] \div \frac{1}{2} - 1 = 12 \left[\frac{-127}{128}\right] \div - \frac{1}{2} = 3 \left[\frac{127}{16}\right] \cong 24 = 12 + 24 = 36 \text{ m}

Explicação

Modelar o movimento como uma soma de termos de uma progressão geométrica, considerando a primeira queda e as subsequentes subidas e descidas até o oitavo toque.

Raio-X da questão

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