Um fabricante produz embalagens de volume igual a 8 litros no formato de um prisma reto com base quadrada de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um fabricante produz embalagens de volume igual a 8 litros no formato de um prisma reto com base quadrada de aresta a e altura h. Visando à redução de custos, a área superficial da embalagem é a menor possível. Nesse caso, o valor de a corresponde, em decímetros, à raiz real da seguinte equação: 4a - 32/a² = 0 As medidas da embalagem, em decímetros, são: (UERJ 2016)
- A) a = 1 ; h = 2
- B) a = 1 ; h = 4
- C) a = 2 ; h = 4
- D) a = 2 ; h = 2
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- o volume do prisma de base quadrada é a^2 * h. Como o volume é 8 litros e 1 litro equivale a 1 dm^3, temos a^2 * h = 8, ou seja, h = 8 / a^2. Passo 2: a área superficial é a soma de duas bases quadradas (2a^2) com quatro faces retangulares (4ah): S = 2a^2 + 4ah. Substituindo h, S = 2a^2 + 4a * (8 / a^2) = 2a^2 + 32/a. Passo 3: para que a área seja mínima, derivamos S em relação a a e igualamos a zero: dS/da = 4a - 32/a^2 = 0, que é exatamente a equação do enunciado. Passo 4: resolvendo, 4a = 32/a^2, então 4a^3 = 32, a^3 = 8 e a = 2 decímetros, que é a raiz real. Passo 5: com a = 2, usamos a^2 * h = 8, isto é, 4h = 8, e portanto h = 2 decímetros. Assim a = 2 e h = 2, alternativa D. Passo 6: por que as outras estão erradas. Na alternativa A, a = 1 não satisfaz a^3 = 8 e, mesmo assim, a = 1 com h = 2 daria volume 2, não 8. Na alternativa B, a = 1 não é raiz da equação e 1^2 * 4 = 4 também não é igual a 8. Na alternativa C, a = 2 está correto, mas h = 4 gera volume 2^2 * 4 = 16, o que viola o volume de 8 litros. Verificação final: 2^2 * 2 = 8 litros.
💡 Dica: Use a equação dada para encontrar a e calcule h pelo volume.
Alternativa por alternativa
Acredita que a = 1 é raiz da equação, provavelmente por errar a raiz cúbica de 8 ao resolver 4a^3 = 32, e depois calcula h sem conferir se o volume dá 8 litros.
Obtém a = 1 pelo mesmo erro na resolução da equação e combina com h = 4, sem verificar que 1^2 * 4 = 4, e não 8 litros.
Por que engana: confundir unidades ou não relacionar a equação dada com as medidas do prisma.
Calcula a corretamente, mas para h usa a * h = 8, ignorando que a base tem área a^2, e por isso obtém h = 4.
CORRETA. Com a = 2 dm, a altura h = 2 dm satisfaz o volume 8 dm³ (2² × 2 = 8) e a aresta a é raiz da equação dada, garantindo a minimização da área superficial.
Raio-X da questão
otimização área prismas
avaliacao
equações do segundo grau · volume e área de prismas
estude volume e área de prismas e resolução de equações
confundir unidades ou não relacionar a equação dada com as medidas do prisma.
tomada_decisao
abstrato
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