Uma família deseja organizar todas as fotos de uma viagem em um álbum com determinado número de páginas, sem…

Questão

Uma família deseja organizar todas as fotos de uma viagem em um álbum com determinado número de páginas, sem sobra de fotos ou de páginas. Para isso, foram testados dois critérios de organização. O primeiro critério, que consistia na colocação de uma única foto em cada página, foi descartado, uma vez que sobraram 50 fotos. Com a adoção do segundo critério, a de uma única foto em algumas páginas e de três fotos nas demais, não sobraram fotos nem páginas, e o objetivo da família foi alcançado. O número total de páginas em que foram colocadas três fotos é igual a: (UERJ 2012)

1. A) 15
2. B) 25
3. C) 50
4. D) 75

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Chame de P o número de páginas do álbum e de F o número de fotos da viagem. Como o álbum não tem sobra de páginas nem de fotos no segundo critério, todas as páginas são usadas.
2. No primeiro critério, cada página recebe uma foto e sobram 50 fotos. Logo F = P + 50.
3. No segundo critério, seja x o número de páginas com uma foto e y o número de páginas com três fotos. Então x + y = P (todas as páginas são usadas) e x + 3y = F (todas as fotos são usadas).
4. Substituindo F = P + 50 em x + 3y = F, temos x + 3y = P + 50. Como P = x + y, obtemos x + 3y = x + y + 50, o que dá 2y = 50 e, portanto, y = 25.
5. Conclusão: o número de páginas com três fotos é 25, alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
6. Verificação rápida: as 25 páginas com três fotos somam 75 fotos. Para que sobrem exatamente 50 fotos no primeiro critério, o álbum tem P = 75 - 50 = 25 páginas com uma foto cada, totalizando x + y = 25 + 25 = 50 páginas e 50 + 75 = 125 fotos. Confirmando: no primeiro critério, 125 fotos e 50 páginas daria sobra de 75, o que não bate. Refazendo com a relação correta, F = P + 50 e x + 3y = F, com y = 25 e x = P - 25: x + 75 = P + 50, logo x = P - 25, o que é consistente para qualquer P com x >= 0; o enunciado exige apenas que a relação valha, e a resposta y = 25 não depende de P.
7. Por que as outras estão erradas: 15, 50 e 75 não satisfazem 2y = 50; em especial, 50 é o excedente de fotos e 75 é o total de fotos nas páginas com três fotos, grandezas que não são o número de páginas procurado.

💡 Dica: Use equações para relacionar o número de páginas e fotos nos dois critérios.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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