Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de R$ 65,00. Veja na tabela os preços da água por embalagem: VOLUME DA EMBALAGEM (L) | PREÇO (R$) 20 | 10,00 10 | 6,00 2 | 3,00 Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n. O valor de n é um divisor de: (UERJ 2012)
- A) 32
- B) 65
- C) 77
- D) 81
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Chame de x o número de embalagens de 20 L. Como o número de embalagens de 10 L é o dobro, ele vale 2x. Chame de n o número de embalagens de 2 L. Passo 2: Escreva a equação do volume: 20x + 10·2x + 2n = 94, ou seja, 40x + 2n = 94, que simplifica para 20x + n = 47. Passo 3: Escreva a equação do custo: 10x + 6·2x + 3n = 65, ou seja, 22x + 3n = 65. Passo 4: Isole n na primeira equação, n = 47 - 20x, e substitua na segunda: 22x + 3(47 - 20x) = 65, o que dá 22x + 141 - 60x = 65, logo -38x = -76 e x = 2. Passo 5: Com x = 2, temos n = 47 - 40 = 7. Verificação: 2 embalagens de 20 L (40 L), 4 de 10 L (40 L) e 7 de 2 L (14 L) totalizam 94 L; o custo é 20 + 24 + 21 = R$ 65,00. Passo 6: Os divisores positivos de 77 são 1, 7, 11 e 77. Como n = 7 divide 77, a alternativa C está correta, em concordância com o gabarito. Passo 7: Por que as outras estão erradas: 32 não é divisível por 7 (32 = 2^5, cujos divisores são potências de 2); 65 = 5 × 13 não é múltiplo de 7; 81 = 3^4 não tem 7 como divisor.
💡 Dica: Use sistema de equações para relacionar volumes e preços e encontrar n.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou na resolução do sistema ou no cálculo de n e chegou a um valor que é potência de 2, tratando a divisibilidade apenas pelo raciocínio sobre divisores de 32 sem verificar se n realmente satisfaz as duas equações.
O aluno provavelmente confundiu o valor total pago (R$ 65,00) com o número de embalagens de 2 L, ou seja, tomou o custo como se fosse a quantidade n.
Por que engana: Confundir as variáveis ou não montar corretamente as equações que relacionam volumes e preços.
CORRETA. Ao resolver o sistema, encontra-se n = 7, e 77 é divisível por 7, portanto esta é a alternativa correta.
O aluno provavelmente cometeu erro algébrico ao montar ou resolver o sistema (por exemplo, um sinal trocado ao substituir n), chegando a um valor sem relação com a solução correta, e depois verificou apenas se 81 era divisor de algum número sem checar a condição do enunciado.
Raio-X da questão
sistema de equações, divisores, volumes
avaliacao
sistema de equações lineares · propriedades de divisores
estude sistemas lineares e propriedades de divisores
Confundir as variáveis ou não montar corretamente as equações que relacionam volumes e preços.
tomada_decisao
cotidiano
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