À beira de um córrego, voluntários coletam amostras de água para registrar a qualidade em diferentes pontos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
À beira de um córrego, voluntários coletam amostras de água para registrar a qualidade em diferentes pontos. Para evitar troca de frascos, cada amostra recebe um rótulo com três partes: uma cor (azul, verde ou amarela), uma letra do tipo de frasco (V ou P) e um código numérico de dois algarismos. Esse código numérico é formado com os dígitos de 0 a 9, mas segue duas regras: o primeiro algarismo não pode ser 0 e os dois algarismos não podem ser iguais. Um voluntário afirmou que, como existem 100 números de dois algarismos (de 00 a 99), bastaria calcular 3*2*100 para saber quantos rótulos diferentes podem ser preparados antes da saída de campo. Analise a afirmação do voluntário e conclua quantos rótulos diferentes podem ser produzidos, respeitando todas as regras descritas no texto.
- A) 486 rótulos
- B) 540 rótulos
- C) 432 rótulos
- D) 600 rótulos
- E) 360 rótulos
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique as três partes do rótulo e seus números de opções. Cor: 3 (azul, verde ou amarela). Tipo de frasco: 2 (V ou P). Essas duas escolhas são independentes das regras do código numérico.
- Conte os códigos de dois algarismos que respeitam as regras. O primeiro algarismo não pode ser 0, então há 9 opções (1 a 9). O segundo algarismo deve ser diferente do primeiro, então há 9 opções (os dígitos de 0 a 9, exceto o já usado). Logo, há 9 x 9 = 81 códigos válidos.
- Aplique o princípio multiplicativo. Total de rótulos = 3 x 2 x 81 = 486.
- Analise a afirmação do voluntário. Ele usou 100 códigos (de 00 a 99), o que inclui códigos com algarismos repetidos (como 11) e códigos que começam com 0 (como 05). Esses códigos são proibidos pelo texto, então o cálculo 3 x 2 x 100 = 600 está errado.
- Verifique as alternativas erradas. A alternativa B (540) corresponderia a 90 códigos, o que ignora a proibição do zero no primeiro algarismo. A alternativa C (432) corresponderia a 72 códigos, o que reduz indevidamente as opções do primeiro algarismo. A alternativa D (600) é justamente o cálculo do voluntário, que ignora as regras. A alternativa E (360) corresponderia a 60 códigos, o que subconta as possibilidades.
- Conclusão: a resposta correta é 486 rótulos, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Calcule as possibilidades para cada parte do rótulo respeitando as restrições e multiplique.
Alternativa por alternativa
Há 3 cores e 2 letras. No código: 9 opções para o 1º algarismo (1 a 9) e 9 para o 2º (0 a 9, exceto o 1º). Total: 3*2*9*9.
O aluno contou 90 códigos, permitindo o zero como primeiro algarismo (por exemplo, 05), e não aplicou a regra de que o primeiro algarismo não pode ser 0.
O aluno contou 72 códigos (8 x 9), reduzindo indevidamente as opções do primeiro algarismo para 8 e ignorando que o único impedimento para ele é o 0.
O aluno aceitou a afirmação do voluntário de que existem 100 códigos (00 a 99), ignorando a regra de que os dois algarismos não podem ser iguais e de que o primeiro não pode ser 0.
Por que engana: O aluno pode esquecer as restrições do código numérico, como o primeiro dígito não ser zero e os dígitos não serem iguais, levando a um cálculo incorreto do total.
O aluno contou apenas 60 códigos válidos, provavelmente por erro na contagem das opções do segundo algarismo ou por uma multiplicação incorreta das possibilidades do código numérico.
Raio-X da questão
contagem combinatória com restrições
avaliacao
princípio multiplicativo · permutação simples
princípios básicos de contagem e permutação com restrições
O aluno pode esquecer as restrições do código numérico, como o primeiro dígito não ser zero e os dígitos não serem iguais, levando a um cálculo incorreto do total.
tomada_decisao
cotidiano
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