Em uma planta baixa, duas retas paralelas são cortadas por duas transversais que partem de um mesmo vértice…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma planta baixa, duas retas paralelas são cortadas por duas transversais que partem de um mesmo vértice. Em uma transversal, os trechos entre o vértice e as paralelas medem 3 cm e 9 cm. Na outra, os trechos correspondentes medem 5 cm e y. — Qual relação deve ser usada para determinar y?
- A) Deve-se igualar as razões entre os segmentos correspondentes nas duas transversais, pois eles formam partes proporcionais.
- B) Deve-se somar os trechos de cada transversal e igualar os totais para encontrar y.
- C) Deve-se usar a diferença entre os trechos de cada transversal, porque as distâncias entre as paralelas são iguais.
- D) Deve-se comparar apenas os trechos menores, pois eles determinam sozinhos o valor de y.
- E) Deve-se igualar os produtos dos trechos de cada transversal, porque os segmentos formam pares equivalentes.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A questão trata de segmentos proporcionais formados por duas retas paralelas cortadas por transversais que partem do mesmo vértice, situação do Teorema de Tales. Passo 2: Em uma transversal, os trechos a partir do vértice medem 3 cm e 9 cm. Na outra, os trechos correspondentes medem 5 cm e y. Passo 3: Como as retas são paralelas, as razões entre os segmentos correspondentes são iguais: 3/9 = 5/y. Passo 4: Para resolver, faz-se o produto cruzado: 3 vezes y = 9 vezes 5, ou seja, 3y = 45, logo y = 15 cm. Passo 5: Portanto, a relação correta é igualar as razões entre os segmentos correspondentes, como indica a alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 6: A alternativa B está errada, porque somar os trechos não reflete a proporcionalidade que as paralelas impõem. Passo 7: A alternativa C está errada, porque as distâncias entre as paralelas não são iguais e a diferença entre os trechos não determina y. Passo 8: A alternativa D está errada, porque os trechos menores sozinhos não determinam y, já que é preciso relacioná-los aos trechos maiores da outra transversal. Passo 9: A alternativa E está errada, porque igualar os produtos dos trechos de uma mesma transversal não corresponde à proporcionalidade entre transversais; a igualdade de produtos só aparece após o produto cruzado, e aplicá-la diretamente levaria a y = 5,4 cm, valor incorreto.
💡 Dica: Identifique os segmentos correspondentes e compare suas razões.
Alternativa por alternativa
É a aplicação correta do teorema de Tales: segmentos correspondentes em transversais cortadas por paralelas são proporcionais.
O aluno acredita que, como as transversais partem do mesmo vértice, basta somar os trechos de cada uma e igualar os totais, tratando a soma como grandeza que se conserva entre as transversais.
O aluno supõe que as paralelas estão sempre à mesma distância uma da outra e que, por isso, a diferença entre os trechos de cada transversal deve ser igual, o que não é a relação de Tales.
O aluno pensa que os trechos menores, por serem os mais próximos do vértice, determinam sozinhos o valor de y, ignorando que o valor de y depende da proporção com os trechos maiores.
O aluno confunde a proporção com a igualdade de produtos dentro de cada transversal e acaba multiplicando 3 por 9 e igualando a 5 vezes y, o que leva a um resultado incorreto e mostra que ele não identificou os pares correspondentes.
Por que engana: O aluno pode somar ou subtrair os comprimentos, ou comparar segmentos que não são correspondentes, em vez de estabelecer uma proporção entre eles.
Raio-X da questão
Teorema de Tales e proporcionalidade
diagnostico
Razões e proporções · Segmentos correspondentes em transversais
Revise o Teorema de Tales e a correspondência entre segmentos determinados por paralelas e transversais.
O aluno pode somar ou subtrair os comprimentos, ou comparar segmentos que não são correspondentes, em vez de estabelecer uma proporção entre eles.
tomada_decisao
abstrato
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