Uma amostra tem 8 elementos, sendo 3 com a característica estudada. Dois elementos são selecionados sem…

Questão

Uma amostra tem 8 elementos, sendo 3 com a característica estudada. Dois elementos são selecionados sem reposição. — Se A é 'o primeiro elemento tem a característica' e B é 'o segundo elemento tem a característica', é correto afirmar que A e B são independentes?

1. A) Sim, porque o primeiro evento não interfere no segundo quando se escolhem apenas dois elementos.
2. B) Não, porque o fato de haver 3 elementos com a característica torna os dois eventos sempre dependentes em qualquer seleção.
3. C) Sim, porque os eventos dependem apenas do total de 8 elementos da amostra e não da ordem das escolhas.
4. D) Sim, porque a retirada sem reposição mantém as probabilidades iguais nas duas seleções.
5. E) Não, porque a retirada sem reposição altera a probabilidade do segundo evento conforme o resultado da primeira escolha.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Na amostra há 8 elementos, 3 com a característica. A probabilidade do primeiro elemento ter a característica é P(A) = 3/8.
2. Se A ocorre, restam 7 elementos, dos quais 2 têm a característica. Logo P(B|A) = 2/7.
3. Se A não ocorre, o primeiro elemento é um dos 5 sem a característica. Restam 7 elementos, dos quais 3 têm a característica. Logo P(B|não A) = 3/7.
4. Dois eventos são independentes quando P(B|A) = P(B). Calculando P(B) pela lei da probabilidade total: P(B) = (3/8)(2/7) + (5/8)(3/7) = 6/56 + 15/56 = 21/56 = 3/8. Como P(B|A) = 2/7 = 16/56 é diferente de P(B) = 21/56, os eventos são dependentes. Também P(B|não A) = 3/7 é diferente de 3/8.
5. Conclusão: a resposta é não, os eventos são dependentes, e a alternativa E está correta, pois a retirada sem reposição altera a probabilidade do segundo evento conforme o resultado da primeira escolha.
6. Por que as outras estão erradas: A afirma que não há interferência, mas a primeira retirada muda o total e a quantidade de elementos com a característica. B chega ao 'não' correto, mas com justificativa errada: a dependência não ocorre 'em qualquer seleção' por causa da presença de 3 elementos; ela decorre da retirada sem reposição. C confunde dependência com o total de elementos, ignorando que a ordem das escolhas altera as probabilidades. D supõe que a retirada sem reposição mantém as probabilidades, o que vale apenas com reposição.

💡 Dica: Verifique se a primeira retirada muda a probabilidade da segunda.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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