Uma caixa tem 5 bolas brancas e 5 pretas. Duas bolas são retiradas sem reposição. — Se A é 'a primeira bola é…

Questão

Uma caixa tem 5 bolas brancas e 5 pretas. Duas bolas são retiradas sem reposição. — Se A é 'a primeira bola é branca' e B é 'a segunda bola é branca', os eventos A e B são independentes?

1. A) Não, porque sem reposição a composição da caixa muda e a probabilidade da segunda retirada depende do resultado da primeira.
2. B) Sim, porque como há a mesma quantidade de bolas brancas e pretas, a probabilidade da segunda retirada continua igual à da primeira.
3. C) Não, porque eventos independentes só acontecem quando as duas retiradas são feitas com reposição.
4. D) Sim, porque as bolas têm a mesma chance de serem retiradas e isso garante que um evento não interfere no outro.
5. E) Sim, porque a primeira bola branca aumenta a chance de a segunda também ser branca e, por isso, os eventos se tornam independentes.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Calcule a probabilidade de a segunda bola ser branca sem saber o resultado da primeira. Há 10 bolas, sendo 5 brancas, então P(B) = 5/10 = 1/2. Passo 2: Calcule a probabilidade de a segunda ser branca sabendo que a primeira foi branca. Restam 9 bolas, sendo 4 brancas, então P(B | A) = 4/9. Passo 3: Como 4/9 é diferente de 1/2, o resultado da primeira retirada altera a probabilidade da segunda, portanto os eventos não são independentes. Passo 4: Verificação formal: eventos independentes exigem P(A e B) = P(A) x P(B). Aqui P(A) = 1/2, P(B) = 1/2 e P(A e B) = 5/10 x 4/9 = 2/9. Como P(A) x P(B) = 1/4 e 2/9 é diferente de 1/4, a conclusão é que não são independentes. Passo 5: A alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa B está errada, pois ter a mesma quantidade de bolas brancas e pretas não garante que a probabilidade se mantenha após a primeira retirada, já que a composição da caixa muda. A alternativa C está errada, pois a independência não depende de haver reposição; com reposição, os eventos seriam independentes, mas isso não é condição exclusiva. A alternativa D está errada, pois bolas com a mesma chance individual de serem retiradas não impedem que uma retirada influencie a outra. A alternativa E está errada duas vezes: a primeira bola branca diminui, e não aumenta, a chance de a segunda ser branca (de 1/2 para 4/9), e a conclusão de independência é falsa.

💡 Dica: Observe se a primeira retirada altera a chance da segunda.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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