Escolhem-se, em sequência e sem reposição, dois números distintos do conjunto {1,2,...,9}. Seja A = 'a soma…

Questão

Escolhem-se, em sequência e sem reposição, dois números distintos do conjunto {1,2,...,9}. Seja A = 'a soma dos dois números é múltipla de 3' e B = 'o primeiro número pertence a {2,5,8}'. Determine se A e B são independentes; apresente todos os cálculos justificando a conclusão.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Espaço amostral (ordenado) tem 9·8=72 resultados. Classe por resto mod 3: R0={3,6,9}, R1={1,4,7}, R2={2,5,8} (cada uma com 3 elementos). Para A (soma =0 mod3): casos (R0,R0): 3·2=6; (R1,R2):3·3=9; (R2,R1):3·3=9. Total favoráveis a A =6+9+9=24 ? P(A)=24/72=1/3. Para B: primeiro ?R2 tem 3 escolhas para o primeiro e 8 para o segundo ? 24 casos ? P(B)=24/72=1/3. Para AnB: primeiro está em R2 (3 escolhas) e deve ser seguido por um elemento de R1 (3 escolhas), total 3·3=9 ? P(AnB)=9/72=1/8. Comparando: P(A)P(B)=(1/3)(1/3)=1/9 ?1/8=P(AnB). Portanto A e B são dependentes; a ocorrência de B altera a probabilidade de A.

Explicação

A análise das probabilidades de A, B e AnB revela que a probabilidade conjunta P(AnB) não é igual ao produto das probabilidades individuais P(A) e P(B), indicando que a ocorrência de B influencia a probabilidade de A. Isso demonstra que os eventos não são independentes, pois a escolha do primeiro número afeta a soma dos dois números em relação à divisibilidade por 3. Assim, a dependência entre os eventos é confirmada pelos cálculos realizados.

Raio-X da questão

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