Em uma pesquisa com 20 alunos, 8 usam transporte público. Dois alunos são escolhidos ao acaso sem reposição…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma pesquisa com 20 alunos, 8 usam transporte público. Dois alunos são escolhidos ao acaso sem reposição. Os eventos A='primeiro escolhido usa transporte público' e B='segundo escolhido usa transporte público' são independentes? Calcule P(AnB).
- A) P(AnB) = 1/10, pois há apenas 20 alunos.
- B) Eventos A e B não têm relação e não podem influenciar um ao outro.
- C) Eventos A e B são independentes, pois ambos têm a mesma chance.
- D) Dependentes. P(AnB)=8/20 × 7/19 = 56/380 = 14/95.
- E) P(AnB) = 8/20, pois o total de alunos não muda.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique o tipo de amostragem. Os alunos são escolhidos sem reposição, então o segundo sorteio acontece com uma população diferente da do primeiro. Isso já indica que os eventos podem ser dependentes. Passo 2: Calcule P(A), a probabilidade de o primeiro escolhido usar transporte público. São 8 usuários em 20 alunos, logo P(A) = 8/20 = 2/5. Passo 3: Calcule P(B|A), a probabilidade de o segundo usar transporte público sabendo que o primeiro usa. Restam 19 alunos, sendo 7 usuários, logo P(B|A) = 7/19. Passo 4: Calcule P(A inter B) = P(A) x P(B|A) = 8/20 x 7/19 = 56/380 = 14/95, que é aproximadamente 0,147. Passo 5: Verifique a independência. Se fossem independentes, P(A inter B) seria P(A) x P(B) = 0,4 x 0,4 = 0,16, valor diferente de 0,147. Como as probabilidades não coincidem, os eventos são dependentes. Passo 6: Conclusão. A alternativa D está correta, pois afirma a dependência e apresenta o cálculo correto. Sobre as demais: a alternativa A está errada porque 1/10 não corresponde a nenhum cálculo válido com 8 usuários e 19 restantes; a alternativa B está errada porque confunde a ausência de relação intuitiva com a condição matemática de independência, que depende das probabilidades; a alternativa C está errada porque ter a mesma probabilidade marginal não garante independência; a alternativa E está errada porque ignora que, sem reposição, a retirada do primeiro aluno altera a composição do grupo restante.
💡 Dica: Calcule a probabilidade considerando a independência dos eventos.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula a probabilidade de forma aproximada, sem usar o número de usuários de transporte público, e obtém 1/10 por uma relação simplificada com o total de 20 alunos.
O aluno acredita que eventos sem relação aparente, ou que não podem influenciar um ao outro, são automaticamente independentes, ignorando que a independência é uma propriedade matemática das probabilidades.
O aluno confunde independência com igualdade de probabilidades individuais: como P(A) e P(B) são iguais a 8/20, conclui que os eventos são independentes.
Por que engana: Confundir a independência dos eventos com a probabilidade de um evento isolado, desconsiderando a mudança no total de alunos após a escolha.
Sem reposição a probabilidade do segundo depende do resultado do primeiro; usa-se P(AnB)=P(A)×P(B|A) com P(B|A)=7/19.
O aluno supõe que o total de alunos permanece 20 em ambos os sorteios, ou seja, que há reposição, e por isso não percebe que a composição do grupo muda após a primeira escolha.
Raio-X da questão
probabilidade de eventos independentes
avaliacao
probabilidade de eventos · eventos independentes
Revisar o conceito de probabilidade e eventos independentes.
Confundir a independência dos eventos com a probabilidade de um evento isolado, desconsiderando a mudança no total de alunos após a escolha.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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