— Para garantir fidelidade ao protótipo, o arquiteto disse: precisamos reproduzir o ângulo alfa corretamente…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Para garantir fidelidade ao protótipo, o arquiteto disse: precisamos reproduzir o ângulo alfa corretamente na maquete em escala. No desenho original, o triângulo retângulo tem catetos de 5 cm e 12 cm e hipotenusa de 13 cm, conforme mostra a figura. No modelo reduzido, todos os lados são proporcionais aos do triângulo de referência e a hipotenusa mede 39 cm. A área da face triangular dessa maquete será aplicada em testes de iluminação para avaliar sombras projetadas em diferentes horários. Antes de montar o protótipo, o arquiteto pede cálculo preciso dessa área. A partir do texto e da imagem, calcule a área do triângulo da maquete semelhante ao da figura, sabendo que sua hipotenusa mede 39 cm.
- A) 97,5 cm2
- B) 90 cm2
- C) 216 cm2
- D) 30 cm2
- E) 270 cm2
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique a razão de semelhança entre a maquete e o desenho original. A hipotenusa original mede 13 cm e a da maquete mede 39 cm, então a razão é 39/13 = 3. Passo 2: Multiplique cada cateto original pela razão 3. O cateto de 5 cm vira 15 cm e o de 12 cm vira 36 cm. Confira com Pitágoras: 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521, e 39^2 também é 1521, então os lados estão corretos. Passo 3: Calcule a área do triângulo retângulo da maquete usando os catetos como base e altura: área = (15 x 36) / 2 = 540 / 2 = 270 cm². Passo 4: Verifique pela propriedade das áreas. Em figuras semelhantes, a área escala pelo quadrado da razão, então a área da maquete é a área original vezes 3^2 = 9. A área original é (5 x 12) / 2 = 30 cm², e 30 x 9 = 270 cm², o que confirma o resultado. Passo 5: Por que as outras alternativas estão erradas: A (97,5 cm²) mistura a hipotenusa já ampliada, 39, com um cateto original, 5, sem ampliá-lo; B (90 cm²) amplia apenas um dos catetos; C (216 cm²) também amplia só um cateto, usando 36 e 12; D (30 cm²) é a área do triângulo original, sem aplicar a escala à maquete.
💡 Dica: Use a proporcionalidade dos lados para encontrar a escala e calcule a área com base nos lados proporcionais.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula 39 x 5 / 2 = 97,5, usando a hipotenusa ampliada como base e um cateto ainda na medida original, como se apenas parte dos lados tivesse sido ampliada.
O aluno calcula 15 x 12 / 2 = 90, ampliando apenas um dos catetos e esquecendo de multiplicar o outro pela escala de 3.
O aluno calcula 36 x 12 / 2 = 216, ampliando apenas um cateto e mantendo o outro na medida original, o que quebra a proporcionalidade do triângulo.
Por que engana: O aluno pode confundir a escala linear com a escala de área, calculando a área diretamente sem ajustar pela proporção dos lados.
O aluno calcula apenas a área do triângulo original, 5 x 12 / 2 = 30, sem aplicar a escala. Ele não percebe que a área de figuras semelhantes muda com o quadrado da razão de semelhança.
A semelhança dá fator k = 39/13 = 3, catetos 15 e 36, logo area = 15 x 36 / 2 = 270 cm2.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos e área
avaliacao
semelhança de triângulos · cálculo de área de triângulos
Estude semelhança de triângulos e cálculo de área de triângulos.
O aluno pode confundir a escala linear com a escala de área, calculando a área diretamente sem ajustar pela proporção dos lados.
tomada_decisao
cotidiano
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