Descrito em relatório técnico, um sistema automático de portas detecta a presença de pessoas por meio de…

Questão

Descrito em relatório técnico, um sistema automático de portas detecta a presença de pessoas por meio de pulsos ultrassônicos de frequência de 40 kHz. O sensor emite cinco pulsos a cada passagem. Testes de campo indicam que, em cada pulso, a probabilidade de o sensor detectar corretamente um obstáculo é de 0,90, independentemente dos demais. Com base no texto-base, calcule a probabilidade de que o sensor identifique corretamente a presença de uma pessoa em pelo menos quatro dos cinco pulsos emitidos.

1. A) 0,9185
2. B) 0,9999
3. C) 0,4095
4. D) 0,3281
5. E) 0,5905

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Identifique o modelo. Cada um dos 5 pulsos é independente, com probabilidade de acerto p = 0,90 e probabilidade de erro q = 0,10. Trata-se de uma distribuição binomial com n = 5 e p = 0,90. A frequência de 40 kHz é um dado irrelevante para o cálculo.
2. Traduza o pedido. 'Pelo menos quatro dos cinco pulsos' significa X = 4 ou X = 5, então P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5).
3. Calcule P(X = 4). É o número de combinações de 5 tomados 4 a 4 (que é 5) vezes 0,90^4 vezes 0,10^1. Logo, 5 x 0,6561 x 0,10 = 0,32805, aproximadamente 0,3281.
4. Calcule P(X = 5). É 1 combinação vezes 0,90^5 vezes 0,10^0. Logo, 0,59049, aproximadamente 0,5905.
5. Some os resultados. P(X >= 4) = 0,32805 + 0,59049 = 0,91854, aproximadamente 0,9185. Esse valor corresponde à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas. B (0,9999) não corresponde a nenhum evento do enunciado. C (0,4095) é a probabilidade de pelo menos um erro em 5 pulsos, o oposto do pedido. D (0,3281) é apenas P(X = 4), desconsiderando o caso de os cinco pulsos acertarem. E (0,5905) é apenas P(X = 5), desconsiderando o caso de exatamente quatro acertos.

💡 Dica: Use a fórmula da probabilidade binomial para calcular a soma das probabilidades de 4 e 5 sucessos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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