Observações realizadas durante um levantamento topográfico indicam que dois marcos, A e B, foram fixados na…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Observações realizadas durante um levantamento topográfico indicam que dois marcos, A e B, foram fixados na mesma margem de um rio para estimar a distância até um ponto C na margem oposta. A separação entre A e B é de 80 m. A partir de A, o ângulo formado pelas linhas que unem A a B e A a C foi medido em 50 graus. A partir de B, o ângulo formado pelas linhas que unem B a A e B a C foi medido em 60 graus. Esses dados foram usados para resolver o triângulo ABC e determinar a distância AC. Com base no texto-base, calcule a distância aproximada entre o ponto A e o ponto C.
- A) 73,7 m
- B) 56,0 m
- C) 80,0 m
- D) 85,3 m
- E) 65,2 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. AB = 80 m (lado oposto ao ângulo em C). O ângulo em A é 50 graus e o ângulo em B é 60 graus. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, o ângulo em C vale 180 - 50 - 60 = 70 graus. Passo 2: Escolha a relação adequada. Queremos AC, que é o lado oposto ao ângulo em B (60 graus). Conhecemos AB, oposto ao ângulo em C (70 graus). Passo 3: Aplique a lei dos senos: AC / sen(B) = AB / sen(C), logo AC = AB * sen(60) / sen(70). Passo 4: Calcule. sen(60) é aproximadamente 0,8660 e sen(70) é aproximadamente 0,9397. Assim, AC = 80 * 0,8660 / 0,9397, que resulta em aproximadamente 73,7 m. Passo 5: Conclusão. A alternativa correta é a A, 73,7 m, o que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a B (56,0 m) não corresponde à lei dos senos com os ângulos corretos; a C (80,0 m) supõe que AC seja igual a AB, o que só valeria se o triângulo fosse isósceles com ângulos iguais em B e C, o que não é o caso; a D (85,3 m) resulta de uma razão de senos invertida ou de um ângulo trocado no denominador; a E (65,2 m) resulta de usar sen(50) no numerador, que é o ângulo errado.
💡 Dica: Use a lei dos cossenos para calcular a distância AC no triângulo.
Alternativa por alternativa
Aplicando a lei dos senos, AC/sin(60)=80/sin(70), resultando em AC˜80·sin(60)/sin(70)˜73,7 m.
O aluno escolhe ou calcula um valor sem aplicar corretamente a lei dos senos, possivelmente trocando os ângulos que aparecem nas frações e obtendo um resultado menor que o real.
Por que engana: Confundir os ângulos dados ou aplicar incorretamente a lei dos cossenos, resultando em cálculo errado da distância.
O aluno supõe que a distância AC seja igual à distância AB de 80 m, como se o triângulo fosse isósceles ou equilátero, sem verificar que os ângulos em B e C são diferentes.
O aluno inverte a razão da lei dos senos ou usa o ângulo de 50 graus no denominador, obtendo um valor um pouco maior que o correto.
O aluno usa o ângulo de 50 graus, que está em A, no numerador da lei dos senos, em vez do ângulo de 60 graus, que é oposto a AC.
Raio-X da questão
Lei dos cossenos, triangulo, distancia
avaliacao
Propriedades dos triângulos · Trigonometria básica
Estude a lei dos cossenos e propriedades dos triângulos para calcular distâncias.
Confundir os ângulos dados ou aplicar incorretamente a lei dos cossenos, resultando em cálculo errado da distância.
tomada_decisao
cotidiano
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