Uma aplicação de busca em banco de dados foi submetida a diferentes volumes de registros e os tempos médios de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma aplicação de busca em banco de dados foi submetida a diferentes volumes de registros e os tempos médios de resposta foram registrados em milissegundos. Os pares (n, t) observados foram: (1000, 50), (2000, 100), (3000, 150), (4000, 200) e (5000, 250). Um aluno sugeriu que o tempo de execução cresce de forma quadrática conforme n aumenta, enquanto outro defendeu que o crescimento é linear. Considere essas observações para analisar o comportamento do sistema. Conclua se a conjectura de que o tempo de execução cresce quadraticamente em função de n é adequada.
- A) Refutar a conjectura quadrática, pois t é proporcional a n
- B) Confirmar que o padrão de crescimento de t é exponencial em função de n
- C) Refutar a conjectura quadrática, pois a razão t/n varia conforme n aumenta
- D) Confirmar a conjectura quadrática, pois t cresce mais que proporcionalmente a n
- E) Refutar a conjectura quadrática, pois t se mantém constante para valores de n
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule a razão t/n para cada par observado. Para (1000, 50) temos 50/1000 = 0,05; para (2000, 100) temos 100/2000 = 0,05; para (3000, 150) temos 150/3000 = 0,05; para (4000, 200) temos 200/4000 = 0,05; e para (5000, 250) temos 250/5000 = 0,05. A razão é sempre a mesma.
- Como t/n é constante, existe a relação t = 0,05 * n. Isso significa que t é diretamente proporcional a n, ou seja, o gráfico de t em função de n é uma reta que passa pela origem. Assim, o crescimento é linear, e não quadrático.
- Para testar a conjectura quadrática, bastaria que t crescesse com o quadrado de n. Por exemplo, se dobrarmos n de 1000 para 2000, um crescimento quadrático quadruplicaria o tempo (de 50 para 200), mas o tempo apenas dobrou (de 50 para 100). Logo, a conjectura quadrática não é adequada.
- Por que as outras alternativas estão erradas: B está errada porque o crescimento exponencial não aparece nos dados, já que a razão t/n é constante e não cresce a cada passo. C está errada porque afirma que a razão t/n varia, o que contradiz o cálculo do Passo 1. D está errada porque confirma a conjectura quadrática, mas o tempo não cresce mais que proporcionalmente a n. E está errada porque afirma que t se mantém constante, quando na verdade t aumenta de 50 para 250 conforme n cresce.
- Conclusão: a conjectura quadrática deve ser refutada, pois os dados mostram que t é proporcional a n, e a alternativa A é a correta, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Analise a relação entre n e t para verificar se é linear ou quadrática.
Alternativa por alternativa
t/n=50/1000=0,05 constante mostra relação linear, não quadrática.
O aluno provavelmente acha que, por o tempo aumentar continuamente, o crescimento é exponencial, confundindo qualquer aumento acelerado ou contínuo com crescimento exponencial. Não verifica que o crescimento exponencial exigiria que t dobrasse a cada aumento fixo de n, o que não ocorre.
O aluno calcula a razão t/n apenas para alguns pares ou faz a conta com erro, achando que o quociente muda, e não percebe que ele se mantém em 0,05 em todos os pares. Pode também ter confundido variação da razão com variação de t.
O aluno confunde crescimento com aumento de valores e acredita que, como t cresce a cada passo, o crescimento é mais que proporcional. Não testa a relação dobrando n, o que mostraria que t apenas dobra.
Por que engana: Confundir crescimento linear com quadrático e interpretar mal a relação entre n e t.
O aluno interpreta mal a tabela e acredita que t permanece constante, possivelmente lendo apenas a coluna de n ou ignorando os valores de t. Não percebe que o tempo sai de 50 e chega a 250 ms.
Raio-X da questão
crescimento linear vs quadrático
avaliacao
funções matemáticas básicas · proporcionalidade direta
Estude funções de crescimento linear e quadrático e suas características.
Confundir crescimento linear com quadrático e interpretar mal a relação entre n e t.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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