Dados ilustrativos: testes de desempenho de um algoritmo de ordenação registraram o tempo de processamento em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados ilustrativos: testes de desempenho de um algoritmo de ordenação registraram o tempo de processamento em diferentes tamanhos de entrada. Para 1 000 elementos, o algoritmo levou 0,05 s; para 2 000 elementos, 0,20 s; e para 3 000 elementos, 0,45 s. Esses valores foram obtidos em condições controladas, mantendo constante o hardware e o ambiente de execução. A equipe de desenvolvimento pretende usar um modelo matemático para estimar o tempo de processamento para tamanhos de entrada não testados. Analise o texto-base e, considerando um modelo polinomial de segundo grau que ajuste os dados, estime o tempo de execução previsto para 4 000 elementos.
- A) 0,80 s
- B) 0,75 s
- C) 1,00 s
- D) 0,90 s
- E) 0,65 s
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Como o enunciado pede um modelo polinomial de segundo grau, usamos t = a·n^2 + b·n + c, em que n é o tamanho da entrada em milhares de elementos (n = 1 para 1 000, n = 2 para 2 000 e n = 3 para 3 000) e t é o tempo em segundos. Com três pontos, o polinômio de segundo grau é único. Passo 2: Substituindo os dados, obtemos o sistema a + b + c = 0,05; 4a + 2b + c = 0,20; 9a + 3b + c = 0,45. Subtraindo a primeira equação da segunda, temos 3a + b = 0,15. Subtraindo a segunda da terceira, temos 5a + b = 0,25. Subtraindo essas duas, 2a = 0,10, logo a = 0,05. Então b = 0,15 - 0,15 = 0 e c = 0,05 - 0,05 - 0 = 0. Passo 3: O modelo é t = 0,05·n^2. Verificação: para n = 1, 0,05; para n = 2, 0,20; para n = 3, 0,45. Todos conferem. Passo 4: Para 4 000 elementos, n = 4, então t = 0,05 · 16 = 0,80 s. Passo 5: Comparando com o gabarito oficial, a resposta A (0,80 s) está correta. Por que as outras estão erradas: B (0,75 s) não corresponde a nenhum ajuste exato dos dados; C (1,00 s) surge de um cálculo de escala incorreto; D (0,90 s) assume que o tempo dobra junto com o tamanho da entrada; E (0,65 s) soma o tempo de 2 000 elementos ao tempo de 3 000 elementos, sem respeitar a lei quadrática.
💡 Dica: Use os dados para ajustar um polinômio de segundo grau e calcule o valor para 4000 elementos.
Alternativa por alternativa
Com a função P(n)=5×10^-8·n^2 ajustada aos dados, P(4000)=5×10^-8·(4000)^2=0,80 s.
Supôs que a diferença entre tempos consecutivos cresce de forma constante de 0,05 em 0,05, prevendo um incremento de 0,30 em vez de 0,35. Assim, chegou a 0,45 + 0,30 = 0,75 s.
Por que engana: O aluno pode confundir o modelo polinomial com linear e calcular incorretamente o tempo para 4000 elementos.
Aplicou a escala do tamanho de forma errada ao estender a curva, tratando a multiplicação pelo fator de crescimento como se fosse direta sobre o último valor observado, sem respeitar a relação quadrática entre n e o tempo.
Acreditou que, como a entrada passa de 2 000 para 4 000 elementos (dobra), o tempo deveria dobrar a partir do último valor, usando a intuição de proporcionalidade direta em vez do crescimento quadrático. Assim, calculou 0,45 × 2 = 0,90 s.
Somou ao último tempo observado (0,45 s) o tempo de 2 000 elementos (0,20 s), confundindo o valor medido com o incremento entre tamanhos consecutivos e ignorando a estrutura do modelo.
Raio-X da questão
modelo polinomial segundo grau
avaliacao
funções polinomiais básicas · ajuste de dados experimentais
estudo de funções polinomiais e ajuste de curvas
O aluno pode confundir o modelo polinomial com linear e calcular incorretamente o tempo para 4000 elementos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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