Dados ilustrativos: testes de desempenho de um novo algoritmo de ordenação registraram o tempo de execução T…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados ilustrativos: testes de desempenho de um novo algoritmo de ordenação registraram o tempo de execução T (em segundos) em função do tamanho da entrada n (número de elementos). Para n = 1000, T = 0,1 s; para n = 2000, T = 0,4 s; para n = 3000, T = 0,9 s. Os engenheiros supõem que T(n) obedece a um polinômio de 2º grau T(n) = a·n^2 + b·n + c. Analise o texto-base e determine qual será o tempo de execução previsto para uma entrada de 4000 elementos.
- A) 1,6 s
- B) 2,0 s
- C) 1,8 s
- D) 2,2 s
- E) 1,4 s
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Trabalhe com x = n/1000, para que os dados fiquem T(1) = 0,1; T(2) = 0,4; T(3) = 0,9, e o modelo seja T(x) = a·x^2 + b·x + c. Isso não muda o resultado final, apenas facilita as contas.
- Substitua os três pontos. Para x = 1: a + b + c = 0,1. Para x = 2: 4a + 2b + c = 0,4. Para x = 3: 9a + 3b + c = 0,9.
- Subtraia as equações. (2) - (1): 3a + b = 0,3. (3) - (2): 5a + b = 0,5. Subtraindo de novo: 2a = 0,2, logo a = 0,1.
- Com a = 0,1, temos b = 0,3 - 0,3 = 0. Então c = 0,1 - 0,1 - 0 = 0. O modelo é T(x) = 0,1·x^2.
- Verifique: T(3) = 0,1·9 = 0,9, que confere com o dado original.
- Para n = 4000, x = 4, então T = 0,1·16 = 1,6 s. Esse é o tempo previsto, correspondente à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: B (2,0 s) superestima a previsão, pois não corresponde ao modelo quadrático ajustado; C (1,8 s) não respeita a curva, pois T(4) não é o dobro de T(3); D (2,2 s) soma um incremento grande demais à sequência de diferenças; E (1,4 s) é a extrapolação linear com a última diferença de 0,5 s, que ignora o termo quadrático.
💡 Dica: Use os pontos dados para montar um sistema e encontrar os coeficientes do polinômio.
Alternativa por alternativa
Usando T(n)=1×10^-7 n^2, para n=4000: 1e-7·(4000)^2 =1,6 s.
O aluno provavelmente tentou estimar T(4000) por um crescimento acelerado sem ajustar os coeficientes do polinômio, chegando a um valor próximo de 2 s por intuição.
Por que engana: O aluno pode confundir o tipo de função ou não montar corretamente o sistema para encontrar os coeficientes.
O aluno provavelmente dobrou T(3000) = 0,9 s para obter T(4000), supondo proporcionalidade direta com o dobro, sem notar que 4000 não é o dobro de 3000 e que o termo quadrático não é linear.
O aluno provavelmente estendeu as diferenças entre os tempos de forma incorreta, somando um acréscimo maior do que o padrão quadrático indica, e chegou a 2,2 s.
O aluno provavelmente assumiu crescimento linear e somou apenas a última diferença (0,5 s) a T(3000) = 0,9 s, ignorando que o modelo é de 2º grau.
Raio-X da questão
função polinomial segundo grau
avaliacao
função polinomial segundo grau · sistemas de equações lineares
estude funções quadráticas e sistemas lineares para encontrar coeficientes
O aluno pode confundir o tipo de função ou não montar corretamente o sistema para encontrar os coeficientes.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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