A equipe de desenvolvimento de uma empresa de embalagens térmicas analisa o custo de produção conforme a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A equipe de desenvolvimento de uma empresa de embalagens térmicas analisa o custo de produção conforme a espessura x (em centímetros) dos isolantes. Experimentos e simulações indicaram que o custo unitário, em reais, pode ser aproximado por C(x)=5x^2 - 80x + 600, para valores de x entre 5 cm e 15 cm. Com valores menores, o isolamento não atende às normas, e com maiores, o material fica pesado e inviabiliza o transporte. A equipe deseja determinar a espessura que torna o custo o mais baixo possível. Com base no texto, identifique a espessura de revestimento que minimiza o custo unitário.
- A) 10 cm
- B) 12 cm
- C) 8 cm
- D) 7 cm
- E) 5 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A função C(x) = 5x^2 - 80x + 600 tem coeficiente a = 5 positivo, então a parábola tem concavidade para cima e possui um ponto de mínimo, que é o vértice.
- A abscissa do vértice é x_v = -b/(2a) = -(-80)/(2 · 5) = 80/10 = 8 cm.
- Verifica-se que 8 está dentro do intervalo permitido, entre 5 cm e 15 cm, então o mínimo é de fato atingido nesse intervalo.
- Confirmando pelo cálculo, C(8) = 5 · 64 - 80 · 8 + 600 = 320 - 640 + 600 = 280 reais, que é menor que os valores em outros pontos, como C(5) = 125 reais? Não: C(5) = 125 - 400 + 600 = 325 reais, e C(10) = 500 - 800 + 600 = 300 reais, ambos maiores que 280 reais.
- Portanto, a espessura que minimiza o custo unitário é 8 cm, alternativa C, o que coincide com o gabarito oficial.
- A alternativa A (10 cm) está errada, pois 10 é o ponto médio do intervalo e não o vértice da parábola. A alternativa B (12 cm) está errada, pois não corresponde ao vértice. A alternativa D (7 cm) está errada, pois está próxima do vértice mas não é o valor correto. A alternativa E (5 cm) está errada, pois é o limite inferior do intervalo e o custo ali (325 reais) é maior que o mínimo.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola para encontrar o mínimo custo.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que o mínimo fica no ponto médio do intervalo de 5 a 15 cm, sem calcular o vértice da parábola.
Por que engana: Escolher um valor de x sem calcular o vértice, confundindo máximo com mínimo.
O aluno errou no cálculo de -b/(2a) ou escolheu um valor intermediário sem aplicar o método, possivelmente confundindo a fórmula do vértice.
Vértice de C(x)=5x^2-80x+600 em x=-(-80)/(2·5)=80/10=8 cm, ponto de custo mínimo.
O aluno chegou perto do vértice, mas cometeu um descuido aritmético na divisão 80/10 ou na leitura do resultado.
O aluno acredita que o menor custo ocorre com a menor espessura, usando a intuição de que material mais fino custa menos, sem analisar a parábola.
Raio-X da questão
função quadrática mínimo custo
avaliacao
função quadrática · cálculo do vértice
estude funções quadráticas e cálculo do vértice
Escolher um valor de x sem calcular o vértice, confundindo máximo com mínimo.
tomada_decisao
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- No fim da tarde, um grupo de estudantes ajudou a montar uma barraca de sucos em um evento local. Para estimar o…
- No fim da temporada, um cinema de bairro decidiu testar um novo valor para o ingresso. A direção observou que, se o…
- — Preciso descobrir em qual ponto minhas vendas rendem mais lucro, ponderou Ana, dona de uma padaria artesanal. Ela…
- Durante uma campanha de assinaturas digitais, uma editora independente observou que o lucro mensal, em reais, dependia…
- Depois de duas semanas vendendo velas artesanais em uma feira, uma estudante registrou que o lucro mensal do negócio, em…
- Uma fábrica de cosméticos testou, em software, larguras de aba para a planificação de um estojo cilíndrico. O gráfico…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog