Por que os mapas planisféricos distorcem tanto as áreas das regiões próximas aos polos? Em um estudo sobre…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que os mapas planisféricos distorcem tanto as áreas das regiões próximas aos polos? Em um estudo sobre projeções cartográficas, analisou-se uma região ao nível do mar com área real de 500 km2 situada a 45 graus de latitude norte. Na projeção de Mercator, a escala linear na latitude f é dada por sec(f). Nessa latitude, sec(45°)=raiz quadrada de 2, de modo que a deformação da área corresponde ao quadrado desse fator. Já em uma projeção cônica de área equivalente, a mesma região mantém-se com área preservada, 500 km2. A partir do texto, identifique a razão entre a área representada no mapa de Mercator e a área real da região.
- A) razao igual a raiz quadrada de 2
- B) razao igual a 2
- C) razao igual a 1
- D) razao igual a 1/2
- E) razao igual a 4
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- O enunciado dá o fator linear da projeção de Mercator na latitude f como sec(f). Em 45 graus, sec(45°) = 1/cos(45°) = 1/(raiz de 2/2) = raiz de 2. Esse é o fator de escala linear, ou seja, quanto cada distância é ampliada na direção horizontal e vertical do mapa.
- Como a área é um produto de duas dimensões, a escala de área é o quadrado da escala linear. Portanto, o fator de área é (raiz de 2)^2 = 2.
- A razão pedida é a área no mapa dividida pela área real. Como a área real é 500 km2 e a área no mapa de Mercator é 2 vezes maior (1000 km2), a razão é 1000/500 = 2. Isso também é coerente com o texto, que diz que a deformação da área corresponde ao quadrado do fator.
- Por que as outras alternativas estão erradas: A) raiz de 2 é o fator linear, não a razão de áreas; C) 1 indicaria área preservada, o que só vale para a projeção equivalente cônica, não para Mercator; D) 1/2 inverteria a comparação e mostraria a região encolhida, o que não ocorre em Mercator; E) 4 resultaria de elevar o fator linear ao quadrado duas vezes, o que não corresponde ao cálculo de área.
- Conclusão: a razão entre a área no mapa de Mercator e a área real é 2, em concordância com o gabarito oficial B.
💡 Dica: Calcule o quadrado do fator de escala linear para encontrar a razão da área.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou corretamente o fator sec(45°) = raiz de 2, mas tomou esse fator linear como se fosse a razão entre áreas, sem elevá-lo ao quadrado.
Por que engana: Confundir a escala linear com a escala de área, aplicando o fator secante diretamente sem elevar ao quadrado.
A deformação da área é (sec45°)^2=(v2)^2=2, logo a área representada é o dobro da real.
O aluno supôs que a área é preservada em qualquer projeção, pois a projeção cônica de área equivalente do texto mantém 500 km2, e transferiu essa propriedade para Mercator.
O aluno inverteu a razão, dividindo a área real pela área no mapa, ou confundiu sec(45°) com cos(45°) = raiz de 2/2 e depois elevou ao quadrado, obtendo 1/2 e imaginando a região encolhida no mapa.
O aluno elevou o fator de escala ao quadrado duas vezes, por exemplo tratando (raiz de 2)^2 = 2 e depois multiplicando novamente, ou interpretou que a deformação de área é o dobro do quadrado do fator.
Raio-X da questão
projeção cartográfica e escala
avaliacao
função trigonométrica secante · propriedades de áreas e escalas
Estude a relação entre escala linear e deformação de áreas em projeções cartográficas.
Confundir a escala linear com a escala de área, aplicando o fator secante diretamente sem elevar ao quadrado.
pensamento_critico
cientifico
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