Um chapéu de festa tem forma de cone. Sua base tem raio de 5 cm e sua altura mede 12 cm. O setor circular…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um chapéu de festa tem forma de cone. Sua base tem raio de 5 cm e sua altura mede 12 cm. O setor circular usado para fazer o chapéu tem raio igual à geratriz do cone. Calcule o ângulo central do setor e arredonde para duas casas decimais.
- A) 276,92°
- B) 138,00°
- C) 180,00°
- D) 120,00°
- E) 138,46°
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Encontre a geratriz do cone pelo teorema de Pitágoras, já que raio da base, altura e geratriz formam um triângulo retângulo: g^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, logo g = 13 cm. Passo 2: O raio do setor circular é igual à geratriz, então R = 13 cm. Passo 3: O comprimento do arco do setor é igual ao comprimento da circunferência da base do cone: C = 2 x pi x 5 = 10 pi cm. Passo 4: O comprimento total de uma circunferência de raio 13 cm é 2 x pi x 13 = 26 pi cm. Passo 5: O ângulo central é a fração do círculo completo (360°) correspondente ao arco: alfa = 360 x (10 pi) / (26 pi) = 3600 / 26 = 138,4615... graus, que arredondado para duas casas decimais dá 138,46°. Passo 6: Comparando com o gabarito oficial, a resposta E (138,46°) está correta e coincide com a minha resolução. Por que as outras estão erradas: A (276,92°) usa o diâmetro 10 cm no lugar do raio 5 cm no cálculo do arco; B (138,00°) chega perto do valor, mas trunca as casas decimais de forma incorreta, pois o valor exato é 138,46°; C (180,00°) suporia que o setor é metade do círculo, sem base no cálculo; D (120,00°) é um valor arbitrário, sem relação com as medidas do cone.
💡 Dica: Use a fórmula da geratriz e a relação entre o comprimento da circunferência da base e o arco do setor.
Alternativa por alternativa
O aluno tomou o diâmetro da base (10 cm) como se fosse o raio ao calcular o comprimento do arco, dobrando o valor correto de 10 pi para 20 pi.
O aluno chegou a um valor próximo, mas descartou a parte decimal de forma incorreta (truncamento para 138 em vez de arredondar para 138,46), ou seja, não fez a conta completa até as casas decimais pedidas.
Por que engana: Confundir o raio da base com o raio do setor ou esquecer de usar a geratriz para calcular o ângulo central.
O aluno supôs intuitivamente que o setor usado para fazer o chapéu corresponde a meia circunferência, sem verificar nas medidas do cone.
O aluno escolheu um valor de ângulo sem calcular a relação entre o comprimento do arco e a circunferência de raio igual à geratriz, o que mostra falta de compreensão de que o ângulo depende da razão entre 5 e 13.
A geratriz mede 13 cm, pois 5² + 12² = 13². O comprimento da base do cone é 2 × π × 5 = 10π. No setor de raio 13 cm, o comprimento total da circunferência seria 26π. Assim, o ângulo é (10π ÷ 26π) × 360° = 138,4615...°. Arredondando para duas casas decimais, obtemos 138,46°.
Raio-X da questão
setor circular, geratriz, ângulo central
avaliacao
propriedades do cone · setor circular e arco
Estude propriedades de cones, setores circulares e cálculo de ângulos centrais.
Confundir o raio da base com o raio do setor ou esquecer de usar a geratriz para calcular o ângulo central.
tomada_decisao
cotidiano
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