Ao longo de uma estrada retilínea que liga os municípios de Lavras e Monte Alto há uma distância de 20 km…

Questão

Ao longo de uma estrada retilínea que liga os municípios de Lavras e Monte Alto há uma distância de 20 km entre eles e o governo planeja construir um hospital que ofereça atendimento equitativo a ambos. Para isso, o hospital deve ser instalado em um ponto que tenha a mesma distância de Lavras e de Monte Alto. Considerando o traçado plano da região, determine o lugar geométrico formado por todos os pontos que satisfazem essa condição. Identifique o lugar geométrico que representa todos os pontos equidistantes de Lavras e de Monte Alto.

1. A) Círculo de centro no ponto médio e raio igual à metade da distância entre os municípios
2. B) Mediana do segmento que une os dois municípios num triângulo imaginário
3. C) Bissetriz do ângulo formado pelas retas que conectam um ponto de referência aos dois municípios
4. D) Altura do triângulo formado pelas retas de acesso aos municípios
5. E) Mediatriz do segmento que une os dois municípios

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. O enunciado pede o lugar geométrico (conjunto de pontos) do plano que estão a igual distância de dois pontos fixos, Lavras e Monte Alto, separados por 20 km em linha reta.
2. Por definição geométrica, o conjunto de pontos equidistantes das extremidades de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto médio. Essa reta é chamada mediatriz do segmento.
3. Verificando com um exemplo: se Lavras estiver na posição 0 km e Monte Alto na posição 20 km ao longo da estrada, o ponto médio está no km 10. Um ponto fora da estrada, situado sobre a perpendicular passando pelo km 10, tem distância igual a qualquer um dos dois municípios, pois forma dois triângulos retângulos congruentes pelo teorema de Pitágoras.
4. A alternativa A descreve um círculo, que seria o lugar dos pontos a uma distância fixa de um único centro, não de dois pontos. A alternativa B descreve a mediana, que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto e não é um conjunto de pontos equidistantes. A alternativa C descreve a bissetriz de um ângulo, que é o lugar dos pontos equidistantes dos dois lados do ângulo, não dos dois municípios. A alternativa D descreve a altura, que é um segmento ligando um vértice perpendicularmente ao lado oposto, sem relação com equidistância entre dois pontos.
5. Portanto, a resposta correta é a alternativa E, mediatriz do segmento que une os dois municípios, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Lembre-se que o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos é a mediatriz do segmento que os une.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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