Manchete ficticia: estudo de mercado revela variação de lucro em marcenaria artesanal A pequena empresa de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Manchete ficticia: estudo de mercado revela variação de lucro em marcenaria artesanal A pequena empresa de móveis ArtCadeira analisa o lucro diario (em reais) ao produzir x cadeiras: L(x) = -5x^2 + 300x - 2000. Valores negativos indicam prejuízo. O gráfico de L(x) é uma parábola com coeficiente quadrático negativo, que tem ponto de lucro máximo. Analise o texto-base e determine a quantidade de cadeiras que maximiza o lucro da ArtCadeira.
- A) 10 cadeiras
- B) 60 cadeiras
- C) 15 cadeiras
- D) 30 cadeiras
- E) 40 cadeiras
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A função de lucro é L(x) = -5x^2 + 300x - 2000. Como o coeficiente de x^2 é negativo (a = -5), a parábola tem concavidade para baixo e o ponto mais alto corresponde ao vértice, cuja abscissa é x_v = -b/(2a). Passo 2: Substituindo b = 300 e a = -5, temos x_v = -300/(2 vezes -5) = -300/(-10) = 30. Passo 3: Conferindo, L(30) = -5 vezes 900 + 300 vezes 30 - 2000 = -4500 + 9000 - 2000 = 2500 reais. Passo 4: Para validar, L(40) = -8000 + 12000 - 2000 = 2000 reais e L(10) = -500 + 3000 - 2000 = 500 reais, ambos menores que 2500, o que confirma que o máximo está em 30 cadeiras. Passo 5: Por que as outras estão erradas: 10 cadeiras dá lucro de apenas 500 reais; 60 cadeiras vem de calcular -b/a sem o fator 2; 15 cadeiras vem de usar -b/(4a); 40 cadeiras dá lucro de 2000 reais, menor que o de 30 cadeiras. Passo 6: Conclusão: a quantidade que maximiza o lucro é 30 cadeiras, o que coincide com o gabarito oficial D.
💡 Dica: Use a fórmula do vértice da parábola para encontrar o valor de x que maximiza o lucro.
Alternativa por alternativa
Provavelmente achou que o máximo está em um dos zeros ou em uma raiz da função, ou fez a conta do vértice com erro de sinal e de frações, chegando a um valor que não é a abscissa do vértice.
Calculou -b/a em vez de -b/(2a), esquecendo o fator 2 do denominador, e obteve 300/5 = 60.
Por que engana: O aluno pode confundir o cálculo do vértice ou escolher o valor de x que minimiza o lucro em vez do que maximiza.
Usou a fórmula errada x = -b/(4a), que pertence a outro contexto, e obteve 300/20 = 15, achando que o vértice tem essa abscissa.
O vértice de L(x) ocorre em x = -b/(2a) = -300/(2·-5) = 30 cadeiras.
Fez a conta do vértice com um erro aritmético ou estimou o valor por tentativa sem comparar o lucro de 30 com o de 40 cadeiras, e concluiu que 40 é o ponto de máximo.
Raio-X da questão
função quadrática, máximo lucro
avaliacao
função quadrática básica
estudo de funções quadráticas e cálculo do vértice
O aluno pode confundir o cálculo do vértice ou escolher o valor de x que minimiza o lucro em vez do que maximiza.
tomada_decisao
cotidiano
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