— “À medida que sobe a temperatura, notei que a umidade cai quase linearmente”, comentou a climatologista…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas variáveis numéricas, usando ou não tecnologias da informação, e, quando apropriado, levar em conta a variação e utilizar uma reta para descrever a relação observada.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— “À medida que sobe a temperatura, notei que a umidade cai quase linearmente”, comentou a climatologista. Para confirmar, ela registrou, em seis dias consecutivos, a temperatura média x (em graus Celsius) e o índice de umidade relativa do ar y (em %) conforme tabela: Dia 1: (20,75); 2: (22,72); 3: (24,68); 4: (26,65); 5: (28,62); 6: (30,60). A partir dos dados, crie uma equação linear aproximada que relacione a umidade y em função da temperatura x.
- A) y = -1.5x + 105
- B) y = -1.5x + 100
- C) y = -1.7x + 110
- D) y = 1.5x + 45
- E) y = -2x + 115
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o tipo de relação. Os pontos (x, y) são (20,75), (22,72), (24,68), (26,65), (28,62) e (30,60). Quando x aumenta, y diminui, então o coeficiente angular deve ser negativo. Isso elimina a alternativa D, cujo coeficiente é positivo. Passo 2: Calcule as médias. A média de x é 150/6 = 25 e a média de y é 402/6 = 67. Passo 3: Calcule o coeficiente angular pelo método dos mínimos quadrados. Somando (x - 25)(y - 67) obtemos -108, e somando (x - 25)^2 obtemos 70. Logo, a inclinação é -108/70, aproximadamente -1,54. Passo 4: Calcule o intercepto: 67 - (-1,54)(25), aproximadamente 105,6. A reta de melhor ajuste é, portanto, y aproximadamente igual a -1,54x + 105,6. Passo 5: Compare com as alternativas testando os valores previstos para cada x. A equação A, y = -1,5x + 105, gera 75, 72, 69, 66, 63 e 60 para x = 20, 22, 24, 26, 28 e 30, com erro total de 3 unidades (somando os quadrados dos erros). A alternativa C, y = -1,7x + 110, tem erro quadrático total de cerca de 4,6. A alternativa E, y = -2x + 115, tem erro quadrático total de 40. Passo 6: Conclusão. A alternativa A é a melhor aproximação linear entre as opções, e coincide com o gabarito oficial. Em uma frase cada: B tem intercepto 100, que gera valores muito baixos (70 para x = 20); C tem inclinação excessiva e erro maior que A; D tem sinal positivo, contrariando a queda observada; E tem inclinação forte demais, que se afasta dos dados nos últimos pontos.
💡 Dica: Calcule a equação da reta que melhor aproxima os pontos dados.
Alternativa por alternativa
O coeficiente angular aproximado é (60-75)/(30-20)=-1.5 e o intercepto b satisfaz 75=-1.5·20+b, logo b=105.
Acertou a inclinação, mas errou o intercepto ao fazer a conta, arredondando ou calculando mal o valor de b, e não verificou a reta com os pontos.
Por que engana: Confundir coeficiente angular com coeficiente linear ou calcular incorretamente a inclinação da reta.
Estimou um coeficiente angular mais inclinado que o dos dados, provavelmente por uma aproximação grosseira da queda, sem calcular a média dos pontos.
Ignorou o sinal negativo da relação, ou seja, pensou que umidade e temperatura crescem juntas, contrariando o enunciado que diz que a umidade cai.
Superestimou a queda da umidade por temperatura, usando uma inclinação de -2 que só se aproxima dos primeiros pontos e se afasta muito dos últimos, sem testar a reta nos seis dados.
Raio-X da questão
equação linear, regressão linear
avaliacao
função afim · análise de dados
Estude como calcular equação da reta a partir de pontos.
Confundir coeficiente angular com coeficiente linear ou calcular incorretamente a inclinação da reta.
pensamento_critico
cotidiano
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