Em uma carta topográfica de um pequeno parque triangular, os vértices A, B e C foram mapeados no plano…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma carta topográfica de um pequeno parque triangular, os vértices A, B e C foram mapeados no plano cartesiano como A(0,0), B(6,0) e C(0,4). Para instalar uma fonte ornamental, decidiu-se que ela deve ficar equidistante dos bancos localizados em B e C (lugar geométrico da mediatriz de BC) e ainda situar-se na bissetriz do ângulo formado pelos caminhos que partem de A em direção a B e a C. Dados ilustrativos: coordenadas expressas em unidades de grade. Com base no texto-base, determine as coordenadas do ponto onde deve ser instalada a fonte.
- A) (2,2)
- B) (3,3)
- C) (4,2)
- D) (4,4)
- E) (5,5)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Ache a bissetriz do ângulo em A. Os caminhos AB (eixo x, de (0,0) a (6,0)) e AC (eixo y, de (0,0) a (0,4)) formam um ângulo reto. A bissetriz desse ângulo é a reta y = x. Passo 2: Ache a mediatriz de BC. Um ponto P(x,y) equidistante de B(6,0) e C(0,4) satisfaz (x-6)^2 + y^2 = x^2 + (y-4)^2. Desenvolvendo: -12x + 36 = -8y + 16, logo 3x - 2y - 5 = 0, ou seja, y = (3x - 5)/2. Esta reta passa pelo ponto médio de BC, (3,2), como esperado. Passo 3: Ache a interseção das duas retas. Substituindo y = x na mediatriz: x = (3x - 5)/2, então 2x = 3x - 5, logo x = 5 e y = 5. O ponto é (5,5). Passo 4: Verifique. Distância de (5,5) a B: raiz de (1^2 + 5^2) = raiz de 26. Distância de (5,5) a C: raiz de (5^2 + 1^2) = raiz de 26. São iguais, e (5,5) está sobre y = x. Passo 5: Confira as alternativas erradas. A(2,2) não satisfaz 3x - 2y - 5 = 0, pois dá -3. B(3,3) dá -2. C(4,2) dá 3. D(4,4) dá -1. Somente E satisfaz as duas condições. O gabarito oficial E está correto.
💡 Dica: Use as propriedades da mediatriz e bissetriz para encontrar o ponto.
Alternativa por alternativa
Provavelmente tomou um ponto próximo do vértice sobre a bissetriz, sem impor a condição de equidistância de B e C, confundindo a mediatriz com a região ao redor do segmento BC.
Usou a abscissa 3 do ponto médio de BC, (3,2), e assumiu que a fonte fica sobre a bissetriz em (3,3). Confundiu a mediatriz, que é perpendicular a BC, com uma reta que apenas passa pelo ponto médio.
Por que engana: Confundir mediatriz com bissetriz ou calcular incorretamente as coordenadas do ponto.
Provavelmente errou o cálculo da mediatriz, por exemplo ao desenvolver (x-6)^2 ou trocar o sinal de algum termo, e chegou a uma reta que passa perto do ponto correto. O ponto (4,2) não pertence à bissetriz y = x.
Acertou a bissetriz y = x, mas não verificou a mediatriz. Pode ter assumido que o ponto deve estar na diagonal do quadrado de lado 4 ou ter feito uma estimativa visual sem calcular a equidistância.
Interseção da mediatriz de BC, y-2=3/2(x-3), com bissetriz de Â, y=x, resulta em (5,5).
Raio-X da questão
mediatriz e bissetriz de ângulo
avaliacao
coordenadas no plano cartesiano · propriedades de triângulos
Estude mediatriz, bissetriz e coordenadas no plano cartesiano.
Confundir mediatriz com bissetriz ou calcular incorretamente as coordenadas do ponto.
pensamento_critico
abstrato
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