— "Queremos instalar um ponto de encontro regional que fique à mesma distância de duas pequenas aldeias e das…

Questão

— "Queremos instalar um ponto de encontro regional que fique à mesma distância de duas pequenas aldeias e das duas estradas principais", explicou o engenheiro em reunião. No mapa, as estradas formam um ângulo de 90 graus com origem no marco O e seguem ao longo dos eixos coordenados: estrada 1 coincide com o eixo x positivo e estrada 2 coincide com o eixo y positivo. As aldeias A e B situam-se nos pontos A(4,0) e B(0,3). O local ideal do ponto de encontro deve estar na mediatriz do segmento AB e na bissetriz do ângulo formado pelas estradas. Considere as informações do texto-base e aplique os conceitos de mediatriz e bissetriz. Quais são as coordenadas do ponto que satisfaz ambas as condições?

1. A) Coordenadas (4,3)
2. B) Coordenadas (7/2, 7/2)
3. C) Coordenadas (1.5,2)
4. D) Coordenadas (3,4)
5. E) Coordenadas (2,1.5)

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. A bissetriz do ângulo de 90 graus formado pelo eixo x positivo e pelo eixo y positivo é a reta y = x, pois todo ponto dessa reta está à mesma distância dos dois eixos. Passo 2: A mediatriz de AB é o conjunto dos pontos P(x,y) equidistantes de A(4,0) e B(0,3). Igualando as distâncias ao quadrado: (x-4)^2 + y^2 = x^2 + (y-3)^2. Desenvolvendo: x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9, o que resulta em 8x - 6y = 7. Passo 3: Como o ponto precisa estar também sobre y = x, substituímos y por x: 8x - 6x = 7, logo 2x = 7 e x = 7/2. Assim o ponto é (7/2, 7/2). Passo 4: Verificação. Distância ao quadrado até A: (7/2 - 4)^2 + (7/2)^2 = 1/4 + 49/4 = 50/4. Distância ao quadrado até B: (7/2)^2 + (7/2 - 3)^2 = 49/4 + 1/4 = 50/4. As distâncias são iguais. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa A não pertence à reta y = x; a alternativa C não satisfaz a equidistância de A e B; a alternativa D não pertence à reta y = x; a alternativa E é o ponto médio de AB, que pertence à mediatriz, mas não à bissetriz. O gabarito B está correto.

💡 Dica: Use as definições de mediatriz e bissetriz para encontrar o ponto que satisfaz ambas as condições.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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