Por que distâncias iguais aparentam diferentes na tela do mapa? Dados ilustrativos: numa projeção cilíndrica…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que distâncias iguais aparentam diferentes na tela do mapa? Dados ilustrativos: numa projeção cilíndrica de Mercator, as distâncias leste-oeste em latitude f são ampliadas pelo fator sec(f), onde sec é a função secante. Assim, áreas em torno de f são multiplicadas por sec^2(f). Para a latitude de 45 graus, sec(45°)=1,414. Considere o método de projeção descrito no texto-base. A partir dessas informações, qual é a área projetada aproximada, em km2, de um quadrado de 100 km de lado situado a 45° de latitude?
- A) 28284
- B) 14142
- C) 20000
- D) 10000
- E) 40000
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcule a área real do quadrado. Como o lado mede 100 km, a área real é 100 x 100 = 10000 km². Passo 2: Identifique o fator de ampliação. O texto diz que áreas em torno da latitude f são multiplicadas por sec^2(f). Passo 3: Calcule sec^2(45°). Como sec(45°) = 1,414, temos sec^2(45°) = 1,414 x 1,414 = 1,999396, que é aproximadamente 2. Passo 4: Multiplique a área real pelo fator. 10000 x 2 = 20000 km². Logo, a área projetada aproximada é 20000 km², alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (28284) aplica o fator sec(45°) uma única vez a mais, o que não corresponde à regra sec^2; B (14142) aplica o fator apenas uma vez, como se só a largura fosse ampliada; D (10000) é a área real, sem nenhuma projeção; E (40000) multiplica por 4, o que equivale a usar o fator duas vezes sobre a área já projetada.
💡 Dica: Calcule a área multiplicando o lado ao quadrado pelo fator de ampliação sec^2(f).
Alternativa por alternativa
Aplicou o fator de ampliação de forma inconsistente, multiplicando a área por sec(45°) e por mais um fator 2, em vez de usar exatamente sec^2(45°) ≈ 2.
Considerou que apenas uma dimensão é ampliada, multiplicando a área por sec(45°) uma única vez, e esqueceu que a ampliação ocorre nas duas direções, o que exige o quadrado da secante.
Por que engana: Confundir o fator de ampliação linear com o fator de ampliação da área, aplicando sec(f) em vez de sec^2(f).
A´rea projetada =100·sec(45°) ×100·sec(45°)=100·1,414 ×100·1,414˜20000 km2.
Assumiu que a projeção não altera as áreas e manteve a área real de 10000 km², ignorando o fator sec^2(f) dado no enunciado.
Aplicou o fator sec^2 duas vezes, elevando o fator ao quadrado (2^2 = 4) ou confundindo sec(45°) com 2, e multiplicou a área real por 4.
Raio-X da questão
projeção de Mercator, fator secante, área projetada
avaliacao
função trigonométrica secante · cálculo de áreas geométricas
Estude a função secante e como ela afeta distâncias e áreas em projeções cartográficas.
Confundir o fator de ampliação linear com o fator de ampliação da área, aplicando sec(f) em vez de sec^2(f).
tomada_decisao
cientifico
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