Matemática3ª sérieBNCC EM13MAT302Média⏱ medio

Por que algumas cidades inundam mesmo com pouca chuva? Dados ilustrativos: em um município do sul, o volume de…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT302

Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Por que algumas cidades inundam mesmo com pouca chuva? Dados ilustrativos: em um município do sul, o volume de escoamento pluvial Q, em milímetros acumulados, foi modelado em função da duração t da chuva, em horas, pela função quadrática Q(t) = -2*(t^2) + 20*t. Observou-se que o sistema de drenagem suporta até 32 mm de escoamento sem alagamento. A partir do texto-base, identifique o intervalo de valores de t em que o volume de escoamento ultrapassa 32 mm, indicando risco de inundação.

A) Valores de t entre 2 horas e 8 horas
B) Valores de t maiores que 8 horas
C) Valores de t entre 8 horas e 10 horas
D) Valores de t menores que 2 horas
E) Valores de t entre 0 horas e 2 horas

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Queremos os valores de t para os quais Q(t) = -2t^2 + 20t ultrapassa 32 mm, ou seja, Q(t) > 32. Passo 2: Escrevemos a desigualdade: -2t^2 + 20t > 32. Passo 3: Passamos tudo para um lado: -2t^2 + 20t - 32 > 0. Passo 4: Dividimos por -2, o que inverte o sentido da desigualdade: t^2 - 10t + 16 < 0. Passo 5: Fatoramos o trinômio, procurando dois números cuja soma é 10 e cujo produto é 16: (t - 2)(t - 8) < 0. Passo 6: Como o produto é negativo, os fatores têm sinais opostos. As raízes são t = 2 e t = 8, e a parábola com concavidade para cima fica abaixo de zero entre elas. Logo, 2 < t < 8. Passo 7: Conferindo, Q(5) = -50 + 100 = 50 mm, que é maior que 32 mm, e Q(2) = 32 mm exatamente, o limite do sistema. Passo 8: Portanto a alternativa correta é A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: na B, para t > 8 o volume já caiu abaixo de 32 mm (por exemplo, Q(10) = 0); na C, o intervalo de 8 a 10 horas também fica abaixo de 32 mm, pois Q(9) = 18; na D, para t < 2 o volume é menor que 32 mm, como Q(1) = 18; na E, o intervalo de 0 a 2 horas também tem Q < 32 mm, já que Q(0) = 0 e Q(1) = 18.

💡 Dica: Calcule os valores de t para os quais Q(t) > 32 usando a função quadrática dada.

Alternativa por alternativa

A Correta

Resolve-se -2t^2+20t>32 => 2t^2-20t+32<0 => (t-2)(t-8)<0, logo 2<t<8 horas.

B Erradaerro: Conceituala que mais engana

Supõe que quanto maior a duração da chuva, maior o volume acumulado, sem considerar que a parábola tem concavidade para baixo e atinge o máximo em t = 5. Ele não percebe que Q volta a cair abaixo de 32 mm depois de t = 8.

Por que engana: O aluno pode confundir o intervalo correto ao não resolver adequadamente a inequação ou interpretar mal o gráfico da função.

C Erradaerro: Procedimental

Identifica corretamente o valor t = 8 como limite, mas escolhe o intervalo após esse limite, trocando o sinal da desigualdade ao resolver (t - 2)(t - 8) < 0. Assim, considera Q > 32 onde a função está abaixo do limite.

D Erradaerro: Senso comum

Acredita, pelo senso comum, que chuvas curtas são as que causam alagamento, e associa 'pouca chuva' ao risco de inundação. Ele não verifica a função: para t < 2, Q(t) < 32 mm.

E Erradaerro: Conceitual

Confunde a condição Q > 0, que indica apenas que há escoamento, com a condição Q > 32 mm, que indica risco de alagamento. Assim, toma o intervalo onde Q é positivo, que vai de 0 a 10 horas, e escolhe um trecho inicial dele.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

função quadrática e inequação

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

função quadrática · resolução de inequações

📚 Reveja

Estude resolução de inequações quadráticas e interpretação de funções.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir o intervalo correto ao não resolver adequadamente a inequação ou interpretar mal o gráfico da função.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cotidiano

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