— Se eu girar o raio no circulo unitario, o ponto muda de lugar, mas a figura parece “espelhar” quando troco…

Questão

— Se eu girar o raio no circulo unitario, o ponto muda de lugar, mas a figura parece “espelhar” quando troco teta por -teta — comentou um estudante ao usar um aplicativo de trigonometria. Na tela (figura), o ponto B esta no 1o quadrante, determinado pelo angulo teta, e o ponto C aparece simetrico em relacao ao eixo x, determinado por -teta. As projeções desses pontos sobre os eixos formam os pontos D (no eixo x) e E e F (no eixo y). O aplicativo destaca que o segmento horizontal associado a cos(teta) coincide para teta e -teta, enquanto os segmentos verticais associados a sen(teta) mudam de sinal. O estudante deseja programar a area do retangulo tracejado EBCF usando apenas sen(teta) e cos(teta). Interprete, com base no texto e na figura, as medidas dos lados do retangulo EBCF e determine sua area A(teta), em funcao de sen(teta) e cos(teta).

1. A) A(teta) = cos(teta)^2 - sen(teta)^2
2. B) A(teta) = sen(teta) x cos(teta)
3. C) A(teta) = 2 x sen(teta)
4. D) A(teta) = 2 x cos(teta)
5. E) A(teta) = 2 x sen(teta) x cos(teta)

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Identifique as coordenadas dos pontos no círculo unitário. Se o ponto B está no primeiro quadrante, na posição determinada pelo ângulo teta, suas coordenadas são (cos(teta), sen(teta)). O ponto C é simétrico a B em relação ao eixo x, por isso tem coordenadas (cos(teta), -sen(teta)). Passo 2: Localize as projeções. O ponto E é a projeção de B sobre o eixo y, logo E = (0, sen(teta)). O ponto F é a projeção de C sobre o eixo y, logo F = (0, -sen(teta)). Passo 3: Determine as medidas dos lados do retângulo EBCF. O lado horizontal vai do eixo y até a abscissa de B e C, que é cos(teta), então sua medida é cos(teta). O lado vertical liga F a E passando por C e B, e mede a distância entre sen(teta) e -sen(teta), ou seja, 2 x sen(teta). Passo 4: Calcule a área. A área de um retângulo é base vezes altura, portanto A(teta) = cos(teta) x 2 x sen(teta) = 2 x sen(teta) x cos(teta), que corresponde à alternativa E. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A alternativa A confunde a área com a identidade cos(2teta) = cos(teta)^2 - sen(teta)^2, que não é a área. A alternativa B esquece o fator 2, pois o lado vertical tem comprimento 2 x sen(teta), e não sen(teta). A alternativa C ignora o lado horizontal cos(teta). A alternativa D troca sen(teta) por cos(teta) nas medidas dos lados.

💡 Dica: Analise as projeções dos pontos e use as propriedades do seno e cosseno para calcular a área do retângulo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• — No painel do aplicativo de animação, a posição de um ponto é controlada por um ângulo ?, medido a partir do eixo dos…
• — O personagem anda para cima quando eu inclino o controle para baixo! — reclamou o testador do jogo. No motor do jogo…
• Na figura ao lado, temos o triângulo retângulo ABC. Na figura está representado também o retângulo CDEF com vértices D…
• — Se eu escolher um ângulo negativo, o gráfico ainda fica com a inclinação positiva? — perguntou uma estudante ao testar…
• No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O…
• No plano cartesiano, um triângulo retângulo isósceles tem os vértices A(0, 0), B(4, 0) e C(0, 4). Em uma variante, os…

Todas as questões de Relações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais