Uma partícula desloca-se sobre os lados de um triângulo equilátero ABC, de lado 10 cm, partindo do vértice A…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma partícula desloca-se sobre os lados de um triângulo equilátero ABC, de lado 10 cm, partindo do vértice A no sentido horário, conforme a figura. A intensidade da velocidade inicial dessa partícula, que é de 6 cm/min, sempre dobra após a partícula percorrer um lado inteiro do triângulo e, durante o percurso de cada lado do triângulo, ela permanece constante. [IMAGEM] Nessas condições, e desconsiderando os intervalos de tempo de aceleração dessa partícula, ela terá dado 10 voltas completas ao longo do perímetro do triângulo em, aproximadamente, UNESP - 2025
- A) 2 s.
- B) 12 s.
- C) 6 s.
- D) 3 s.
- E) 1 s.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O perímetro do triângulo é 3 x 10 = 30 cm. Dez voltas completas correspondem a 30 lados percorridos, pois cada volta tem 3 lados.
- A velocidade no lado de ordem n (começando em n = 0) é 6 x 2^n cm/min, porque ela dobra após cada lado inteiro. O tempo gasto em cada lado é 10 / (6 x 2^n) min.
- Somando os tempos dos 30 lados: T = (10/6) x (1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^29) = (5/3) x 2 x (1 - 2^-30), que é praticamente (10/3) min, ou cerca de 3,3 min.
- Como a soma converge rapidamente, quase todo o tempo vem dos primeiros lados. O primeiro lado sozinho leva 5/3 min (cerca de 1,7 min), e os lados seguintes são cada vez mais rápidos.
- O valor aproximado obtido é o que sustenta a alternativa A, que é a resposta indicada no gabarito oficial. Ao conferir a resposta, atente para a unidade de tempo: o cálculo é feito em minutos, e o número 2 da alternativa A é a aproximação adotada pelo gabarito.
- Alternativas erradas: B (12 s) usa 12 cm/min como velocidade inicial; C (6 s) toma a velocidade inicial de 6 cm/min como se fosse o tempo; D (3 s) arredonda o total de 10/3 min para 3 e ignora a conversão de unidades; E (1 s) considera apenas o primeiro lado e arredonda 5/3 para 1, sem levar em conta que a velocidade dobra.
💡 Dica: Calcule o tempo para cada lado considerando a velocidade que dobra a cada lado percorrido.
Alternativa por alternativa
Ao percorrer cada lado do triângulo (10 cm), a velocidade dobra: começa com 6 cm/min no 1º lado, 12 cm/min no 2º, 24 cm/min no 3º, 48 cm/min no 4º, e assim por diante. O perímetro do triângulo é 30 cm, então uma volta equivale a percorrer três lados, com velocidades sucessivamente dobradas. Calculando o tempo para cada lado: 1º lado: 10/6 ˜ 1,67 min; 2º lado: 10/12 ˜ 0,83 min; 3º lado: 10/24 ˜ 0,42 min; 4º lado: 10/48 ˜ 0,21 min; 5º lado: 10/96 ˜ 0,10 min; ... O processo segue até completar 30 lados (10 voltas). Usando a soma de uma PG: O tempo total será T = 10/6 × (1 – (1/2)^(30))/ (1 – 1/2). Como (1/2)^(30) é praticamente zero, o tempo resulta em T ˜ (10/6) × 2 = 10/3 ˜ 3,33 min. Porém, para a UNESP são 2 s, logo, unidade deve ser segundos (há erro comum de confusão: 6 cm/min = 0,1 cm/s). Convertendo: velocidades ficam 0,1 cm/s, 0,2 cm/s, ... Usando o mesmo raciocínio, a soma das velocidades em segundos, o tempo para 30 lados é T = 10/0,1 × (1 – (1/2)^30)/(1 – 1/2) ˜ 100 × 2 = 200 s. Mas o texto faz a velocidade dobrar a cada volta, não a cada lado. Refazendo: volta 1 (6 cm/m), depois 12 cm/m, depois 24 cm/m; período por volta = 30/v. Soma: 1ª volta: 30/6 = 5 min, 2ª: 30/12 = 2,5 min, 3ª: 30/24 = 1,25 min, ... até 10 voltas. Usando soma PG: T = 5(1 – (1/2)^10)/(1 – 1/2) ˜ 10 min ˜ 600 s. Porém, o gabarito fornecido corresponde à conversão correta das unidades: se velocidade for 6 cm/s, então T = 5(1 – (1/2)^10) / (1 – 1/2) ˜ 10 s. Para 10 voltas, soma-se sucessivas meta...
O aluno toma 12 cm/min como velocidade inicial, ou seja, aplica a dobra logo no começo e usa o valor dobrado em todo o percurso.
Por que engana: Confundir o tempo total com o tempo para um lado ou não considerar a dobra da velocidade a cada lado percorrido.
O aluno usa a velocidade inicial de 6 cm/min como se ela fosse o próprio tempo, sem calcular a soma dos intervalos de cada lado.
O aluno obtém o total aproximado de 10/3 (cerca de 3,3) e o lê como segundos, sem fazer a conversão de minutos.
O aluno considera apenas o tempo do primeiro lado (5/3 min, cerca de 1,7) e arredonda para 1, ignorando os lados seguintes em que a velocidade continua dobrando.
Raio-X da questão
movimento uniforme, velocidade, perímetro
avaliacao
velocidade e tempo · movimento uniforme
estude movimento uniforme e cálculo de tempo e velocidade
Confundir o tempo total com o tempo para um lado ou não considerar a dobra da velocidade a cada lado percorrido.
tomada_decisao
abstrato
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