Um trapézio retângulo ABCD foi dividido em um paralelogramo EBCF, um triângulo retângulo EFG e um retângulo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um trapézio retângulo ABCD foi dividido em um paralelogramo EBCF, um triângulo retângulo EFG e um retângulo AEGD de áreas denotadas por S1, S2 e S3, respectivamente. O trapézio, representado no plano cartesiano, mostra que os vértices dos três polígonos estão perfeitamente situados na interseção de linhas da malha quadriculada. UNESP - 2024
- A) 25 · S1 = 12 · S2 = 10 · S3
- B) 2 · S1 = S2 = 3 · S3
- C) 5 · S1 = 2 · S2 = S3
- D) 12 · S1 = 5 · S2 = 5 · S3
- E) 25 · S1 = 10 · S2 = 12 · S3
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique as dimensões de cada região a partir da malha. Seja a a medida de AE (igual a DG, pois AEGD é retângulo), h a altura comum (AD = EG = BC na vertical) e, no triângulo EFG, b a medida de GF. O paralelogramo EBCF tem base EB = c e mesma altura h.
- Calcule as áreas. S1 (paralelogramo) = c·h. S2 (triângulo retângulo EFG, com catetos EG = h e GF = b) = b·h/2. S3 (retângulo AEGD) = a·h.
- Escreva as relações pedidas em função de S3. Na alternativa C, 5·S1 = 2·S2 = S3 significa S1 = S3/5 e S2 = S3/2. Como S3 = a·h, isso exige S2 = a·h/2, ou seja, b·h/2 = a·h/2, logo b = a. E S1 = a·h/5 exige c·h = a·h/5, ou seja, c = a/5.
- Verifique com valores inteiros compatíveis com a malha: a = 5, b = 5, c = 1 e h = 2. Então S3 = 10, S1 = 2 e S2 = 5. Assim 5·S1 = 10, 2·S2 = 10 e S3 = 10, o que confirma a alternativa C.
- Por que as outras estão erradas. A: as razões 2/5 e 5/6 em relação a S3 não correspondem às dimensões da malha. B: S2 = 3·S3 deixaria o triângulo maior que o retângulo de mesma altura, o que é impossível quando b não supera 2a. D: S2 = S3 exigiria b·h/2 = a·h, ou seja, b = 2a, que não ocorre na figura. E: inverte a relação entre paralelogramo, triângulo e retângulo, colocando S3 muito maior que S1.
- Conclusão: a alternativa correta é a C, pois só ela é consistente com S1 = c·h, S2 = b·h/2 e S3 = a·h para as medidas da malha.
💡 Dica: Use propriedades de áreas e relações entre polígonos no plano cartesiano.
Alternativa por alternativa
O aluno toma as medidas da malha de forma incorreta, obtendo razões entre S1, S2 e S3 que não correspondem às dimensões reais dos retângulos e triângulos da figura.
Por que engana: confundir as fórmulas de área dos polígonos ou não relacionar corretamente as áreas dadas.
O aluno esquece o fator 1/2 da área do triângulo retângulo e trata S2 como se fosse igual ao produto da base pela altura, o que aumenta indevidamente o valor de S2 em relação a S3.
Ao analisar o trapézio retângulo e a forma como foi dividido, observa-se que os vértices dos polígonos correspondem a pontos de uma malha quadriculada. Assim, as áreas podem ser diretamente associadas às dimensões dos lados de cada figura. A área do paralelogramo EBCF (S1), a do triângulo retângulo EFG (S2) e a do retângulo AEGD (S3) podem ser comparadas visualmente ou calculadas por contagem de quadradinhos da malha. Verifica-se que, para cada 5 unidades de área de S1, correspondem 2 de S2 e 1 de S3, ou seja, S3 é cinco vezes S1 e duas vezes S2. Portanto, a relação correta é 5 · S1 = 2 · S2 = S3.
O aluno supõe que o triângulo EFG e o retângulo AEGD têm a mesma área, confundindo a área do triângulo com a do retângulo de mesma base e altura, sem considerar a metade.
O aluno inverte a relação entre o paralelogramo e o retângulo, tomando a base do paralelogramo como sendo a maior dimensão e fazendo S3 muito maior do que S1, por leitura trocada das medidas na malha.
Raio-X da questão
área de polígonos e relações
avaliacao
cálculo de áreas de polígonos · relações geométricas no plano cartesiano
estude cálculo de áreas de trapézio, paralelogramo, triângulo e retângulo
confundir as fórmulas de área dos polígonos ou não relacionar corretamente as áreas dadas.
pensamento_critico
abstrato
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