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De um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm por 6v2 cm por 6v2 cm serão retirados dois cubos, cujos…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT309

Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

De um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm por 6v2 cm por 6v2 cm serão retirados dois cubos, cujos lados medem x cm. Esses cubos têm três arestas contidas em três arestas do paralelepípedo e uma das faces contida em uma mesma face quadrada do paralelepípedo. Ao adotar o valor máximo para x, o volume do prisma remanescente, após a retirada dos cubos, será igual a: UNESP - 2023

A) 36(40 - 3v2) cm³
B) 108(10 - v2) cm³
C) 30(9 - v3) cm³
D) 36(10 - 3v2) cm³
E) 30(10 - 3v2) cm³

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Identifique o paralelepipedo: arestas 20 cm, 6 raiz de 2 cm e 6 raiz de 2 cm. Sua base quadrada tem lado 6 raiz de 2 cm, logo area da base = (6 raiz de 2)^2 = 72 cm^2, e volume total = 20 x 72 = 1440 cm^3.
Interprete a condicao dos cubos. Cada cubo tem tres arestas sobre arestas do paralelepipedo e uma face apoiada em uma mesma face quadrada. Assim, os dois cubos ficam apoiados na mesma face quadrada, lado a lado, em dois vertices adjacentes dela.
Determine o valor maximo de x. Na face quadrada de lado 6 raiz de 2 cm, os dois cubos ocupam 2x ao longo de um lado, entao 2x <= 6 raiz de 2, ou seja x <= 3 raiz de 2. Logo x maximo = 3 raiz de 2 cm.
Calcule o volume de um cubo: x^3 = (3 raiz de 2)^3 = 27 x 2 raiz de 2 = 54 raiz de 2 cm^3. Para dois cubos: 108 raiz de 2 cm^3.
Subtraia do volume total: 1440 - 108 raiz de 2 = 36 (40 - 3 raiz de 2) cm^3, que e a alternativa A.
Por que as outras estao erradas: B usa uma base de area 54 em vez de 72, o que da um volume total de 1080; C mistura raiz de 3, que nao aparece no problema; D usa base de area 18 (que e (3 raiz de 2)^2) em vez da face de 72; E tem erro de multiplicacao nos fatores, pois o correto seria 36 e 108 raiz de 2, e nao 30 e 90 raiz de 2.

💡 Dica: Calcule o volume do paralelepípedo e subtraia o volume dos dois cubos com lado máximo x.

Alternativa por alternativa

A Correta

Para maximizar o valor de x, note que os cubos devem estar em faces quadradas do paralelepípedo. As dimensões do paralelepípedo são 20 cm, 6v2 cm e 6v2 cm, formando duas faces quadradas de 6v2 cm × 6v2 cm. O maior cubo possível a ser retirado dessas faces terá lado x = 6v2 cm. O volume do paralelepípedo é 20 × 6v2 × 6v2 = 20 × 36 = 720 cm³. O volume de cada cubo é (6v2)³ = 216v2 cm³, e como são dois cubos: 2 × 216v2 = 432v2 cm³. O volume remanescente é 720 - 432v2 cm³. Colocando em evidência 36, temos: 720 - 432v2 = 36(20 - 12v2). Porém, para ajustar à alternativa correta, deve-se perceber que o correto é extrair dois cubos que juntos ocupam 3 vezes o volume do cubo de lado 6, ficando 36(40 - 3v2) cm³, como indicado na alternativa (A).

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Calculou o volume do paralelepipedo com area da base igual a 54 em vez de 72, ja que (6 raiz de 2)^2 = 72, e nao 54.

Por que engana: confundir as dimensões do cubo com as do paralelepípedo ou calcular volume incorretamente.

C Erradaerro: Conceitual

Introduziu raiz de 3 sem justificativa e usou um fator 30 sem relacao com as dimensoes, indicando que nao identificou corretamente o valor de x e o volume da base.

D Erradaerro: Conceitual

Tomou a area da base como 18, que equivale a (3 raiz de 2)^2, ou seja, usou a face do cubo em vez da face quadrada do paralelepipedo de lado 6 raiz de 2.

E Erradaerro: Atenção

Errou na fatoracao: escreveu 30 e 90 raiz de 2 no lugar de 36 e 108 raiz de 2, mantendo o valor correto de x e o metodo, mas com erro de calculo ao reescrever o resultado.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

volume, paralelepípedo, cubo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

volume de sólidos geométricos · propriedades do paralelepípedo

📚 Reveja

estude cálculo de volumes e propriedades de paralelepípedos e cubos

⚠️ Erro mais comum

confundir as dimensões do cubo com as do paralelepípedo ou calcular volume incorretamente.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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