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Um vídeo postado na internet no 1º dia do ano obteve, nesse dia (t=1), 800 likes e 100 dislikes. [IMAGEM]…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT304

Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um vídeo postado na internet no 1º dia do ano obteve, nesse dia (t=1), 800 likes e 100 dislikes. [IMAGEM] Estima-se que nos próximos dias (t = 2, 3, 4, ...) haverá um aumento diário de 10% nos likes acumulados e um aumento diário de 4,5% nos dislikes acumulados. Tais estimativas são válidas até o momento em que a razão entre dislikes e likes seja aproximadamente 1/40, o que ocorrerá no valor inteiro de t mais próximo de UNESP - 2022

A) log0,95 0,12.
B) log0,95 0,19.
C) log0,90 0,19.
D) log1,05 1,19.
E) log0,05 0,12.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Os likes acumulados partem de 800 no dia t=1 e crescem 10% ao dia, logo L(t) = 800 * 1,10^(t-1). Passo 2: Os dislikes acumulados partem de 100 e crescem 4,5% ao dia, logo D(t) = 100 * 1,045^(t-1). Passo 3: A razão entre dislikes e likes é D(t)/L(t) = (100/800) * (1,045/1,10)^(t-1). Como 1,045/1,10 = 0,95 e 100/800 = 1/8, a razão fica (1/8) * 0,95^(t-1). Passo 4: Queremos que essa razão seja 1/40. Então (1/8) * 0,95^(t-1) = 1/40, o que dá 0,95^(t-1) = 8/40 = 0,2. Passo 5: Multiplicando os dois lados por 0,95, obtemos 0,95^t = 0,95 * 0,2 = 0,19. Logo t é o logaritmo de 0,19 na base 0,95, ou seja, t = log0,95 0,19. Passo 6: Calculando, ln 0,19 é aproximadamente -1,661 e ln 0,95 é aproximadamente -0,0513, o que dá t próximo de 32,4. O inteiro mais próximo é t = 32, e a alternativa B é a correta. Passo 7: Por que as outras estão erradas: a alternativa A troca 0,19 por 0,12, valor que não aparece em nenhuma etapa do cálculo. A alternativa C usa a base 0,90, confundindo a taxa de 10% com a razão real entre os crescimentos. A alternativa D usa a base 1,05, que não corresponde a nenhuma das taxas nem à razão entre elas. A alternativa E usa base 0,05 e argumento 0,12, sem relação com a razão 1/40 nem com o fator 0,95.

💡 Dica: Use a fórmula de crescimento exponencial e a razão para montar a equação e resolver o logaritmo.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Atençãoa que mais engana

Provavelmente o aluno calculou a razão corretamente, mas errou o argumento do logaritmo e usou 0,12 em vez de 0,19. Também pode ter multiplicado 0,2 por 0,6 por engano.

Por que engana: Confundir a base do logaritmo ou interpretar incorretamente a razão entre dislikes e likes.

B Correta

Alternativa correta. Para determinar o valor de t, usamos as fórmulas para crescimento composto: likes = 800·1,10^(t-1), dislikes = 100·1,045^(t-1). A razão é dislikes/likes = [100·1,045^(t-1)] / [800·1,10^(t-1)] = (100/800)·(1,045/1,10)^(t-1) = 0,125·(0,95)^{t-1}. Queremos essa razão próxima de 1/40 (0,025). Assim: 0,125·(0,95)^{t-1} = 0,025 ? (0,95)^{t-1} = 0,025/0,125 = 0,2. Isolando t-1: t-1 = log0,95(0,2). Portanto, t = 1 + log0,950,2. Como 0,2 é aproximadamente 0,19, a alternativa correta é log0,950,19.

C Erradaerro: Procedimental

O aluno trocou a base 0,95 por 0,90, misturando o fator de crescimento de 10% dos likes com a razão entre as taxas. Assim, usou uma base que não representa a razão entre dislikes e likes.

D Erradaerro: Conceitual

O aluno usou a base 1,05, possivelmente tirando a média entre 4,5% e 5% ou somando as taxas de forma aleatória. Não percebeu que a razão entre os fatores de crescimento é 0,95, e não um fator de crescimento positivo.

E Erradaerro: Interpretação

O aluno confundiu a base do logaritmo com 0,05, que pode ter vindo de uma diferença entre as taxas (10% menos 4,5%, ou 5,5%). Também usou 0,12 como argumento sem justificativa no enunciado.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

crescimento exponencial e logaritmos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

função exponencial · logaritmos

📚 Reveja

Estude crescimento exponencial e propriedades de logaritmos.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a base do logaritmo ou interpretar incorretamente a razão entre dislikes e likes.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cotidiano

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