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Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com origem em O(0, 0), um avião se desloca, em linha…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT302

Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em relação a um sistema cartesiano de eixos ortogonais com origem em O(0, 0), um avião se desloca, em linha reta, de O até o ponto P, mantendo sempre um ângulo de inclinação de 45º com a horizontal. A partir de P, o avião inicia trajetória parabólica, dada pela função f(x) = -x² + 14x - 40, com x e f(x) em quilômetros. Ao atingir o ponto mais alto da trajetória parabólica, no ponto V, o avião passa a se deslocar com altitude constante em relação ao solo, representado na figura pelo eixo x. [IMAGEM] Em relação ao solo, do ponto P para o ponto V, a altitude do avião aumentou UNESP - 2019

A) 2,5 km.
B) 3 km.
C) 3,5 km.
D) 4 km.
E) 4,5 km.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

O avião sobe de O até P com inclinação de 45° em relação à horizontal. Uma reta que passa pela origem com inclinação de 45° tem equação y = x, portanto P está sobre a reta y = x. Passo 2: P também pertence à parábola f(x) = -x^2 + 14x - 40. Igualando x = -x^2 + 14x - 40, obtemos x^2 - 13x + 40 = 0, cujas raízes são x = 5 e x = 8. Assim, os candidatos são (5, 5) e (8, 8). Passo 3: O avião percorre a parábola a partir de P até chegar ao ponto mais alto V. Como V é o vértice, P deve estar antes dele, ou seja, com abscissa menor que a do vértice. Passo 4: O vértice da parábola tem abscissa x_v = -b/(2a) = -14/(-2) = 7. Então f(7) = -49 + 98 - 40 = 9, e V = (7, 9). Se P fosse (8, 8), o avião já estaria depois do vértice, o que contraria o enunciado. Logo P = (5, 5). Passo 5: A altitude em P é 5 km e a altitude em V é 9 km. O aumento da altitude de P para V é 9 - 5 = 4 km. Alternativa correta: D. Por que as outras estão erradas: A) 2,5 km não corresponde a nenhuma das ordenadas calculadas, pois a altitude de V é 9 e a de P é 5. B) 3 km corresponde a uma diferença de abscissas, não de altitudes. C) 3,5 km não resulta de f(5) nem de f(7). E) 4,5 km seria obtido com uma altitude errada para V ou para P, o que não ocorre nos cálculos corretos.

💡 Dica: Calcule a altura no ponto P e no ponto V usando a função dada e encontre a diferença.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

Calcula mal a altitude do vértice ou do ponto P, por exemplo tomando f(7) como 8 ou um valor próximo, e depois subtrai incorretamente, chegando a 2,5 km.

B Erradaerro: Conceituala que mais engana

Confunde a abscissa com a altitude: usa a diferença entre coordenadas x (7 - 4 = 3 ou 8 - 5 = 3) em vez da diferença entre as ordenadas de P e V.

Por que engana: Confundir o ponto P com o vértice ou calcular incorretamente a altura no vértice da parábola.

C Erradaerro: Atenção

Erra o cálculo da ordenada de V ou de P (por exemplo, toma P com altitude 5,5 ou V com altitude 8,5) e chega a uma diferença de 3,5 km.

D Correta

O ponto mais alto da parábola f(x) = -x² + 14x - 40 está no vértice, cuja abscissa é x_v = -b/(2a) = -14/(2*(-1)) = 7. A altitude neste ponto é f(7) = -(7)² + 14*7 - 40 = -49 + 98 - 40 = 9 km. O ponto P ocorre quando o avião termina a primeira parte retilínea. Para achar P, igualamos a função da trajetória com a condição de inclinação de 45° (reta y = x, pois tan(45°) = 1). Igualando y = x e f(x) = y, temos: -x² + 14x - 40 = x ? -x² + 13x - 40 = 0 ? x² - 13x + 40 = 0, cujas raízes são x = 5 e x = 8. O ponto P é o menor desses valores (x = 5), pois é o início da parábola após a linha O?P. Substituindo x = 5 em f(x), temos f(5) = -(25) + 14*5 - 40 = -25 + 70 - 40 = 5 km. Portanto, do ponto P (5 km de altitude) ao vértice V (9 km), a altitude aumentou 4 km.

E Erradaerro: Interpretação

Toma a altitude do ponto P como a metade da altitude final ou usa a média entre 0 e 9 como referência, obtendo 9 - 4,5 = 4,5 km, sem partir da reta y = x que define P.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Lembrar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

função quadrática e máximo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

função quadrática · cálculo do vértice da parábola

📚 Reveja

estudo de funções quadráticas e cálculo de vértice

⚠️ Erro mais comum

Confundir o ponto P com o vértice ou calcular incorretamente a altura no vértice da parábola.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cotidiano

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