FísicaUNESPBNCC EM13CNT204Média⏱ medio

Duas caixas, A e B, estão apoiadas, em repouso, sobre uma barra homogênea reta presa pelo seu ponto médio…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13CNT204

Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Duas caixas, A e B, estão apoiadas, em repouso, sobre uma barra homogênea reta presa pelo seu ponto médio (ponto O) ao teto por meio de um fio inextensível. A caixa A está colocada a uma distância x do ponto O e a caixa B a uma distância y desse ponto. Nessa situação, a barra exerce sobre a caixa A uma força Na e, sobre a caixa B, uma força Nb. Uma matriz quadrada M é construída de forma que seus elementos são as intensidades de Na e Nb e as distâncias x e y, tal que M = [Na Nb; y x]. Sendo M' a matriz transposta de M e considerando-se o sentido anti-horário como o positivo para a rotação, para que a barra permaneça em equilíbrio na horizontal é necessário que UNESP - 2019

A) det (M') = 0.
B) det M < 0.
C) det M ? 0.
D) det (M') ? 0.
E) det M > 0.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Para a barra ficar em equilíbrio na horizontal, a soma dos torques em relação ao ponto O deve ser zero. O fio está preso em O, por isso não produz torque em relação a esse ponto. Passo 2: As caixas A e B estão em lados opostos de O. As forças que a barra exerce sobre as caixas são Na e Nb, e as caixas reagem sobre a barra com forças de mesma intensidade e sentido contrário. Com o sentido anti-horário como positivo, os torques de cada lado têm sinais opostos, logo a condição é Na·x - Nb·y = 0. Passo 3: A expressão Na·x - Nb·y é exatamente o determinante de M, pois M = [Na Nb; y x] tem det M = Na·x - Nb·y. Passo 4: A matriz M' é a transposta de M e tem o mesmo determinante, ou seja, det M' = det M. Assim, o equilíbrio exige det M' = 0, que é a alternativa A. Passo 5: A alternativa B está errada porque o equilíbrio não exige que o determinante seja negativo, apenas que seja nulo. Passo 6: A alternativa C está errada porque exige determinante diferente de zero, o que significaria torque líquido não nulo e rotação da barra. Passo 7: A alternativa D está errada porque det M' é igual a det M, e um valor diferente de zero indicaria desequilíbrio. Passo 8: A alternativa E está errada porque um determinante positivo também indica torque líquido não nulo, e a barra giraria.

💡 Dica: Calcule o determinante da matriz transposta e relacione com a condição de equilíbrio.

Alternativa por alternativa

A Correta

Para que a barra esteja em equilíbrio na horizontal, a soma dos torques em relação ao ponto O deve ser zero (equilíbrio de torques). O torque é dado pelo produto da força pela distância, ou seja, torque total = Na·y - Nb·x. Para equilíbrio: Na·y = Nb·x, ou seja, Na·y - Nb·x = 0. A matriz M' (transposta de M) tem linhas [Na y] e [Nb x], então seu determinante é det(M') = Na·x - Nb·y. Para que a barra esteja em equilíbrio, Na·x - Nb·y = 0, ou equivalentemente, det(M') = 0.

B Erradaerro: Conceitual

O aluno acredita que o equilíbrio exige um sinal específico para o determinante, como se um lado precisasse dominar o outro. Na verdade, o equilíbrio exige apenas que os torques se anulem.

C Erradaerro: Conceituala que mais engana

O aluno inverte a condição de equilíbrio e conclui que o determinante deve ser diferente de zero, achando que a matriz precisa ser não singular. Na verdade, a soma dos torques nula corresponde a determinante zero.

Por que engana: Confundir a matriz original com a transposta ou interpretar incorretamente o sinal do determinante para equilíbrio.

D Erradaerro: Conceitual

O aluno percebe a relação com a transposta, mas inverte a condição e exige det M' diferente de zero. Ele não percebe que det M' = det M e que a condição de equilíbrio é nulidade do determinante.

E Erradaerro: Senso comum

O aluno acredita que, para a barra ficar em equilíbrio, o produto Na·x deve ser maior que Nb·y, ou seja, o determinante deve ser positivo. Ele não percebe que a condição é de igualdade dos torques.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Lembrar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

equilibrio torque matriz determinante

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

determinante de matriz 2x2 · condicao de equilibrio torque

📚 Reveja

Estude determinante de matrizes e condições de equilíbrio de torques.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a matriz original com a transposta ou interpretar incorretamente o sinal do determinante para equilíbrio.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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