Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações x^2 -…

Questão

Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações x^2 - 2x - 1 = 0 e x^4 + 13x^2 + 36 = 0. Se X = W ? V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a (UECE 2021)

1. A) 20.
2. B) -20.
3. C) 4i.
4. D) -4i.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Resolvo a primeira equação. x^2 - 2x - 1 = 0 tem a = 1, b = -2, c = -1, logo o discriminante é 4 + 4 = 8 e as raízes são x = (2 ± raiz de 8)/2 = 1 ± raiz de 2. Assim W = {1 + raiz de 2, 1 - raiz de 2}, todas reais.
2. Resolvo a segunda equação. Fazendo y = x^2, temos y^2 + 13y + 36 = 0, cujas raízes são y = -4 e y = -9. Como (x^2 + 4)(x^2 + 9) = 0, obtemos x^2 = -4 ou x^2 = -9, ou seja, x = 2i, x = -2i, x = 3i ou x = -3i. Logo V = {2i, -2i, 3i, -3i}, todas imaginárias puras.
3. Interpreto o símbolo do enunciado como união (W união V). Se fosse interseção, X seria vazio, a soma seria 0 e nenhuma alternativa coincidiria, então a união é a leitura que faz sentido. X tem 6 elementos.
4. Calculo a soma dos quadrados de W. Pelas relações de Girard, a soma das raízes é 2 e o produto é -1, então a soma dos quadrados é 2^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6. Conferindo diretamente: (1 + raiz de 2)^2 + (1 - raiz de 2)^2 = 3 + 2raiz de 2 + 3 - 2raiz de 2 = 6.
5. Calculo a soma dos quadrados de V, lembrando que i^2 = -1: (2i)^2 + (-2i)^2 + (3i)^2 + (-3i)^2 = -4 - 4 - 9 - 9 = -26.
6. Somo os resultados: 6 + (-26) = -20. A alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial.
7. Por que as outras estão erradas: A (20) resulta de erro de sinal, pois a soma correta é -20 e não 20; C (4i) e D (-4i) são números imaginários, mas a soma dos quadrados de números reais e imaginários resulta em número real, então não podem ser a resposta.

💡 Dica: Calcule as raízes de cada equação e encontre a interseção para somar os quadrados.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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