Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas…

Questão

Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que: UNESP - 2014

1. A) B – I ? 0, onde I é a matriz identidade de ordem n e 0 é a matriz nula de ordem n.
2. B) B seja invertível.
3. C) B ? 0, onde 0 é a matriz nula de ordem n.
4. D) B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.
5. E) A e C sejam invertíveis.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Isole a incógnita X. Na equação A + BX = X + 2C, passe X para o lado esquerdo e A para o lado direito, obtendo BX - X = 2C - A. Como X = IX (I é a identidade de ordem n), fica (B - I)X = 2C - A. Passo 2: Essa é uma equação do tipo M·X = N, em que M = B - I é a matriz dos coeficientes e N = 2C - A é o termo independente. Passo 3: Quando M é invertível, existe M^(-1) e a solução é única: X = M^(-1)·N. Quando M não é invertível, o sistema ou não tem solução ou tem infinitas soluções, portanto a solução não é única. Assim, a condição necessária e suficiente para solução única é que B - I seja invertível. Passo 4: Por que as outras estão erradas. A: exigir que B - I seja diferente da matriz nula não garante invertibilidade, pois existem matrizes não nulas que não são invertíveis. B: a matriz dos coeficientes é B - I, não B, porque X também aparece do lado direito. C: B ser diferente da matriz nula não garante invertibilidade, e a condição correta envolve B - I. E: A e C são termos independentes e não alteram a unicidade da solução, que depende só da matriz dos coeficientes. Conclusão: a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Isolar X e analisar a invertibilidade da matriz envolvida.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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