Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria até o 21º aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 2^10 = 1.024, o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de UNESP - 2011
- A) 42.947,50.
- B) 49.142,00.
- C) 57.330,00.
- D) 85.995,00.
- E) 114.660,00.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Os depósitos formam uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão 2: 1, 2, 4, ..., 2048. Como 2048 = 2^11, cada ciclo tem 12 depósitos (de 2^0 a 2^11). Passo 2: A soma de um ciclo completo é 1 + 2 + ... + 2^11 = 2^12 - 1 = 4096 - 1 = R$ 4.095,00. Passo 3: Ao atingir R$ 2.048,00, o pai recomeça do R$ 1,00, ou seja, um novo ciclo de 12 meses se inicia. O período total é de 21 anos, isto é, 21 x 12 = 252 meses. Passo 4: 252 ÷ 12 = 21 ciclos completos, sem sobra de meses. Passo 5: Montante total = 21 x 4.095 = R$ 85.995,00, que é a alternativa D, coincidindo com o gabarito oficial. Passo 6: A alternativa A está errada porque o valor é bem menor que o correto e não corresponde a 21 ciclos completos. A alternativa B não corresponde a 21 ciclos, pois usa uma soma de ciclo que não é 4.095. A alternativa C equivale a 14 ciclos de 4.095, o que ignora que o período tem 21 ciclos. A alternativa E equivale a 28 ciclos de 4.095, ou seja, supõe um período maior que os 21 anos do enunciado.
💡 Dica: Calcule a soma da progressão geométrica e multiplique pelo número de ciclos.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou o cálculo da soma de um ciclo ou o número de ciclos, chegando a um valor próximo à metade do correto.
O aluno provavelmente calculou mal a soma da progressão geométrica dos depósitos de um ciclo, usando uma aproximação como 2^12 em vez de 2^12 - 1, e depois multiplicou pelo número de ciclos.
O aluno provavelmente considerou 14 ciclos completos, o que corresponde a 168 meses, em vez de 21 anos ou 252 meses, uma leitura incorreta do período.
Por que engana: Confundir a soma dos depósitos com o valor do último depósito ou não considerar os ciclos completos.
Correta porque, em cada ciclo de 11 meses, a soma dos depósitos é 2.047 (soma de 2^0 + 2^1 + ... + 2^10), repetidos por 21 anos (252 meses/12 meses/ciclo = 21 ciclos), totalizando 21 x 2.047 = 85.995 reais. O cálculo aproveita que 2^11 - 1 = 2.047. O valor coincide exatamente com o resultado esperado.
O aluno provavelmente considerou 28 ciclos, ou seja, 336 meses, o que corresponde a um período maior que os 21 anos do enunciado, indicando erro na conversão de anos em meses.
Raio-X da questão
progressão geométrica, soma, depósitos
avaliacao
progressão geométrica · soma de termos de PG
Estude progressão geométrica e soma de termos
Confundir a soma dos depósitos com o valor do último depósito ou não considerar os ciclos completos.
tomada_decisao
cotidiano
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