A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é: [IMAGEM] UNESP - 2010
- A) 95 040.
- B) 40 635.
- C) 924.
- D) 792.
- E) 35.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como a pessoa só anda para cima ou para a direita, todo percurso mínimo de A até B tem o mesmo número de passos. Cada percurso é uma sequência de passos horizontais (para a direita) e verticais (para cima), e a ordem dessa sequência define um caminho diferente.
- Na malha da figura, o trajeto mínimo tem 12 passos, sendo 5 para a direita e 7 para cima. Assim, um percurso fica determinado por escolher quais 5 dos 12 passos serão horizontais (os 7 restantes serão verticais).
- Essa escolha é uma combinação simples, sem importar a ordem entre os passos do mesmo tipo. O número de caminhos é C(12,5) = 12! / (5! x 7!) = (12 x 11 x 10 x 9 x 8) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 792.
- Por que as outras alternativas estão erradas:
- A) 95 040 seria a contagem de arranjos, que trata passos iguais como distintos, e isso superconta os percursos.
- B) 40 635 não corresponde à contagem de percursos mínimos, pois resulta de uma soma de caminhos que não respeita a restrição de sentidos.
- C) 924 é C(12,6), ou seja, escolher 6 passos horizontais em vez de 5, o que não corresponde à malha.
- D) 792 é a resposta correta, pois é C(12,5), que conta exatamente os percursos mínimos.
- E) 35 é um valor pequeno, que corresponde a contar apenas uma parte reduzida da malha, sem considerar todos os trajetos possíveis de A até B.
💡 Dica: Use combinatória para contar os caminhos possíveis respeitando as direções permitidas.
Alternativa por alternativa
O aluno multiplicou as posições disponíveis como se fossem passos todos distintos, calculando um arranjo (12 x 11 x 10 x 9 x 8) e ignorando que os passos para a direita são indistinguíveis entre si.
O aluno somou caminhos parciais ou contou trajetos que não são os mais curtos, violando a restrição de que só se pode subir ou ir para a direita de forma mínima entre A e B.
O aluno calculou C(12,6), escolhendo 6 passos horizontais em vez de 5, ou seja, trocou o número de passos de um tipo pelo de outro na fórmula de combinação.
Por que engana: Confundir o problema com permutações simples ou não respeitar as restrições de movimento, levando a contagens incorretas.
Correta porque 792 é o resultado de C(11,5), onde se calcula quantos caminhos diferentes ligam A a B com 11 passos totais (6 para a direita e 5 para cima, ou vice-versa): C(11,5) = 11!/(6!5!) = 792.
O aluno considerou apenas uma sub-malha menor da planta, como se a pessoa tivesse menos opções de quarteirões, e por isso encontrou um número de percursos muito reduzido.
Raio-X da questão
combinatória, caminhos, permutações
avaliacao
princípios básicos de combinatória · permutação e combinação simples
Estude princípios básicos de contagem e permutações em combinatória.
Confundir o problema com permutações simples ou não respeitar as restrições de movimento, levando a contagens incorretas.
pensamento_critico
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- ENEM - 2020 Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado…
- A figura ilustra graficamente uma região de um bairro, com ruas ortogonais entre si. O ponto X indica um condomínio…
- Em uma exposição interativa de ciências em Recife, o painel de orientação mostra as rotas para uma atividade: a partir…
- Por que tanta gente erra um caminho que parece curto? Para ajudar visitantes de uma passarela de madeira em área de…
- Desenhe o trajeto que uma pessoa faria do ponto A ao ponto B em um mapa, incluindo mudanças de direção.
- Considere um quadrado com vários quadrados desenhados em seu interior. Sabe-se que uma partícula pode se deslocar sobre…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog