ENEM - 2018 Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30m um do outro, os…

Questão

ENEM - 2018 Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada. Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

1. A) 30.
2. B) 40.
3. C) 45.
4. D) 60.
5. E) 68.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Coloque os focos sobre o eixo x, com B na origem (0,0) e A no ponto (30,0). Seja P=(x,y) a posição de um bombeiro. A distância de P a B é raiz de (x^2+y^2) e a distância de P a A é raiz de ((x-30)^2+y^2). Pela condição do enunciado, PA = 2 PB.
2. Elevando ao quadrado, (x-30)^2+y^2 = 4(x^2+y^2). Expandindo: x^2-60x+900+y^2 = 4x^2+4y^2, ou seja, 3x^2+3y^2+60x-900 = 0. Dividindo por 3: x^2+y^2+20x-300 = 0.
3. Completando quadrados, (x+10)^2 + y^2 = 400. Esta é a equação de uma circunferência de centro (-10,0) e raio 20. Logo, todos os pontos onde um bombeiro pode estar formam essa circunferência.
4. A maior distância entre dois pontos de uma circunferência é o diâmetro, que vale 2 x 20 = 40 metros. Confirmação: o bombeiro em (10,0) está a 10 m de B e 20 m de A (20 = 2 x 10); o bombeiro em (-30,0) está a 30 m de B e 60 m de A (60 = 2 x 30). A distância entre eles é 40 m.
5. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (30) é a distância entre os focos, que não é a distância entre os bombeiros; a alternativa C (45) não corresponde a nenhum diâmetro da circunferência obtida; a alternativa D (60) é a distância de um bombeiro ao foco A na posição extrema, não a distância entre dois bombeiros; a alternativa E (68) não corresponde ao diâmetro nem a nenhuma distância relevante do problema. O gabarito B está correto.

💡 Dica: Use a relação entre as distâncias e aplique o teorema de Pitágoras para encontrar a maior distância entre os bombeiros.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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