ENEM - 2017 O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
ENEM - 2017 O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
- A) 15
- B) 30
- C) 108
- D) 360
- E) 972
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o tipo de problema. Trata-se de contagem por princípio multiplicativo com restrição: cada região da logomarca deve receber uma das quatro cores, e duas regiões vizinhas não podem ter a mesma cor. Passo 2: Conte as regiões da figura. Pela estrutura da logomarca, há 6 regiões a colorir, e a ordem de pintura pode ser escolhida de modo que cada região nova tenha, no máximo, uma vizinha já pintada. Passo 3: Pinte a primeira região. Como há 4 cores disponíveis, existem 4 opções. Passo 4: Pinte cada região seguinte. Ao pintar uma região que é vizinha de uma região já colorida, ela não pode receber a cor dessa vizinha, sobram 3 opções. Como são 5 regiões restantes, cada uma com 3 opções, temos 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3^5 = 243 possibilidades. Passo 5: Multiplique as escolhas: 4 x 243 = 972. Portanto, a alternativa E está correta. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (15) corresponde a uma combinação de 6 regiões tomadas 2 a 2, o que ignora a ordem das cores e as regras de vizinhança; a alternativa B (30) não corresponde a nenhum produto coerente das escolhas de cor e de regiões; a alternativa C (108) equivale a 4 x 3^3, ou seja, considera apenas 4 regiões a colorir e esquece duas delas; a alternativa D (360) equivale a permutações de 6 regiões sem aplicar a restrição de cores vizinhas diferentes.
💡 Dica: Use o princípio da contagem considerando as restrições de cores para regiões vizinhas.
Alternativa por alternativa
O aluno usa combinação simples, como C(6,2) = 15, escolhendo apenas duas regiões de 6 em vez de contar a coloração sequencial de todas as regiões com 4 cores.
O aluno monta um produto incompleto de escolhas, sem aplicar corretamente o princípio multiplicativo para todas as regiões e as restrições de vizinhança.
O aluno calcula 4 x 3 x 3 x 3 = 108, ou seja, esquece duas das regiões a serem coloridas e conta apenas quatro delas.
O aluno trata a pintura como arranjo ou permutação das cores e das regiões, ignorando a exigência de que regiões vizinhas tenham cores diferentes, o que leva a um número maior de possibilidades.
Por que engana: Escolher combinações de cores sem considerar a restrição de que regiões vizinhas não podem ter a mesma cor.
972 combinações consideram todas as permutações e restrições de cores diferentes para regiões adjacentes.
Raio-X da questão
princípio da contagem e coloração
avaliacao
princípio fundamental da contagem · restrições em coloração de grafos
Estude o princípio fundamental da contagem e problemas de coloração com restrições.
Escolher combinações de cores sem considerar a restrição de que regiões vizinhas não podem ter a mesma cor.
tomada_decisao
cotidiano
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