ENEM - 2010 Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
ENEM - 2010 Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça é igual a O raio da perfuração da peça é igual a
- A) 1 cm.
- B) 2 cm.
- C) 3 cm.
- D) 4 cm.
- E) 5 cm.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique a base do prisma. Como 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2, o triângulo da base é retângulo, com catetos 6 cm e 8 cm e hipotenusa 10 cm.
- Entenda o que a perfuração exige. O cilindro é reto e vazado no sentido da altura do prisma, então seu eixo é perpendicular à base. Ser tangente às faces laterais significa que a circunferência de sua seção circular toca os três lados do triângulo da base, ou seja, ela é a circunferência inscrita no triângulo.
- Calcule o raio da circunferência inscrita em um triângulo retângulo. Para esse tipo de triângulo, r = (cateto 1 + cateto 2 - hipotenusa)/2 = (6 + 8 - 10)/2 = 4/2 = 2 cm.
- Confira com a área. A área do triângulo é (6 x 8)/2 = 24 cm^2 e o semiperímetro é (6 + 8 + 10)/2 = 12 cm. Assim, r = área/semiperímetro = 24/12 = 2 cm, o que confirma o resultado.
- Conclusão. O raio da perfuração é 2 cm, alternativa B.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A (1 cm) resultaria de dividir por 4 em vez de 2 na fórmula. A alternativa C (3 cm) não corresponde a nenhuma relação da base, sendo um valor que não é o raio inscrito. A alternativa D (4 cm) corresponde a metade de um cateto, o que não define a tangência às três faces. A alternativa E (5 cm) é metade da hipotenusa, que corresponde ao raio da circunferência circunscrita, e não ao da inscrita.
💡 Dica: Calcule a área da base triangular e use propriedades do prisma e do cilindro para determinar a perfuração.
Alternativa por alternativa
O aluno aplica a fórmula do raio inscrito, mas divide a soma (6 + 8 - 10) por 4 em vez de 2, ou toma a metade do valor correto.
Por que engana: O aluno pode confundir as dimensões do cilindro com as do prisma, aplicando incorretamente a fórmula do volume.
O raio de 2 cm é correto, pois permite que o cilindro seja tangente às faces laterais do prisma, conforme as dimensões dadas.
O aluno chuta um valor intermediário entre os lados da base, sem relacionar o raio à circunferência tangente aos três lados do triângulo.
O aluno toma a metade de um dos catetos (8/2 = 4) como raio, acreditando que o cilindro tangencia apenas uma face lateral.
O aluno calcula a metade da hipotenusa (10/2 = 5), que é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, confundindo-a com a inscrita.
Raio-X da questão
prisma reto, cilindro tangente, geometria espacial
avaliacao
volume de prismas · cilindros e suas propriedades
Revisar propriedades de prismas retos, cálculo de áreas de triângulos e características de cilindros tangentes.
O aluno pode confundir as dimensões do cilindro com as do prisma, aplicando incorretamente a fórmula do volume.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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