ENEM - 2009 A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis…

Questão

ENEM - 2009 A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, …, 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009. Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente, Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,

1. A) 1 1/2 vez menor.
2. B) 2 1/2 vezes menor.
3. C) 4 vezes menor.
4. D) 9 vezes menor.
5. E) 14 vezes menor.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Todos os resultados possíveis do sorteio são as combinações de 60 dezenas tomadas 6 a 6, C(60,6). Esse valor aparece tanto no numerador quanto no denominador da razão, então se cancela. Basta comparar o número de resultados favoráveis à quina em cada caso.
2. Verifique o custo. Uma aposta de 9 dezenas contém C(9,6) = 84 apostas de 6 dezenas, e 84 x R$ 1,50 = R$ 126,00, que é exatamente o valor disponível. Então as duas opções custam o mesmo.
3. Para uma aposta de 6 dezenas acertar a quina, o sorteio deve ter 5 dezenas dentro da aposta e 1 dezena fora dela. Há C(6,5) x 54 = 6 x 54 = 324 resultados favoráveis por aposta.
4. No primeiro caso, as 84 apostas não têm cinco números em comum entre si, então os conjuntos de quina não se repetem. O total de resultados favoráveis é 84 x 324 = 27216.
5. No segundo caso, a aposta de 9 dezenas dá quina se o sorteio tiver 5 das 9 dezenas e 1 das 51 restantes. Isso dá C(9,5) x 51 = 126 x 51 = 6426 resultados favoráveis.
6. A razão entre os casos é 27216 / 6426, aproximadamente 4,2. Logo, a probabilidade de acertar a quina na aposta única de 9 dezenas é cerca de 4 vezes menor, o que corresponde à alternativa C. Assim, o gabarito oficial está correto.
7. Sobre as demais alternativas: A (1,5 vez) e B (2,5 vezes) subestimam a diferença; D (9 vezes) confunde a razão com o número de dezenas; E (14 vezes) superestima a diferença, pois a razão real é cerca de 4,2.

💡 Dica: Calcule quantas apostas podem ser feitas com o valor disponível e use a combinação para a probabilidade de acertar cinco dezenas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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