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Em um jogo, com dois jogadores (A e B) e a banca, gira-se a roda indicada na figura, até que ela pare…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT312

Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em um jogo, com dois jogadores (A e B) e a banca, gira-se a roda indicada na figura, até que ela pare aleatoriamente em um dos 100 números naturais positivos e consecutivos, que são equiprováveis. [IMAGEM] As regras do jogo são: 1) se sair um múltiplo de 3, o jogador A ganha o prêmio; 2) se sair um múltiplo de 4 ou 6, o jogador B ganha o prêmio; 3) se sair um número que implique na vitória de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, A e B repartem o prêmio; 4) se sair um número que implique em derrota de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, a banca ganha o prêmio. Em cada rodada, a probabilidade da banca do jogo ganhar o prêmio é de UNESP - 2022

A) 50%.
B) 42%.
C) 56%.
D) 58%.
E) 66%.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Os resultados são os números de 1 a 100, todos equiprováveis, então a probabilidade é o número de casos favoráveis dividido por 100. Passo 2: Pela regra 4, a banca ganha somente quando nenhum jogador vence, ou seja, quando o número não é múltiplo de 3, nem de 4, nem de 6. Passo 3: Todo múltiplo de 6 já é múltiplo de 3, então basta considerar os múltiplos de 3 ou de 4 como casos em que algum jogador vence. Passo 4: Há 33 múltiplos de 3 entre 1 e 100 e 25 múltiplos de 4. Os números que são múltiplos de 3 e de 4 ao mesmo tempo são os múltiplos de 12, que são 8. Pelo princípio da inclusão-exclusão, o total de números com vencedor é 33 + 25 - 8 = 50. Passo 5: Os múltiplos de 12 não são casos de derrota para ambos, pois pela regra 3 eles são repartidos entre A e B. Logo, a banca ganha em 100 - 50 = 50 casos, e a probabilidade é 50/100 = 50%, alternativa A. Passo 6: Por que as outras estão erradas: 42% resulta de subtrair de 100 a soma 33 + 25 sem descontar os 8 múltiplos de 12 contados duas vezes; 56% resulta de uma contagem incorreta dos casos de vitória de A ou B; 58% considera a banca vencedora também nos múltiplos de 12, que são repartidos entre os jogadores; 66% considera somente os 34 múltiplos de 3 como vitórias, esquecendo que B também ganha.

💡 Dica: Calcule a probabilidade considerando múltiplos de 3, 4 e 6 e use a regra da soma e interseção.

Alternativa por alternativa

A Correta

Existem 100 números naturais de 1 a 100. A banca só ganha se sair um número que NÃO seja múltiplo de 3, 4 ou 6. Vamos contar quantos números nessas condições existem: múltiplos de 3 de 1 a 100 são 33, de 4 são 25, de 6 são 16. Usando o Princípio da Inclusão-Exclusão, temos: N(3 ? 4 ? 6) = N(3) + N(4) + N(6) - N(12) - N(24) - N(6) + N(12). Fazendo as contas: múltiplos de 12: 8; múltiplos de 24: 4; múltiplos de 6 já computados, corrigimos: N(3) + N(4) - N(12) = 33 + 25 - 8 = 50. Então, 50 números NÃO são múltiplos de 3 nem de 4 (e, portanto, nem de 6), ou seja, 50 números dão a vitória para a banca. Portanto, a probabilidade é 50/100 = 50%.

B Erradaerro: Procedimental

O aluno somou múltiplos de 3 (33) e de 4 (25), obtendo 58 casos de vitória, e não descontou os 8 múltiplos de 12 que foram contados duas vezes, chegando a 42% para a banca.

C Erradaerro: Procedimentala que mais engana

O aluno errou a contagem dos casos em que A ou B vencem, obtendo 44 em vez de 50, e assim chegou a 56% para a banca.

Por que engana: Confundir múltiplos comuns e somar probabilidades sem descontar interseção.

D Erradaerro: Interpretação

O aluno considerou que os múltiplos de 12, em que A e B dividem o prêmio, também dão vitória à banca, somando 8 casos a mais aos 50 corretos.

E Erradaerro: Interpretação

O aluno considerou apenas 34 múltiplos de 3 (arredondando 100/3) como casos de vitória, ignorando que B também ganha com múltiplos de 4 ou 6, e obteve 66%.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

probabilidade, múltiplos, conjuntos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

probabilidade básica · conjuntos e múltiplos

📚 Reveja

estude probabilidade e operações com conjuntos (união, interseção)

⚠️ Erro mais comum

Confundir múltiplos comuns e somar probabilidades sem descontar interseção.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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