Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado…

Questão

Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica. [IMAGEM] A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1? [FUVEST 2024 - Questão 63] FUVEST - 2024

1. A) 26
2. B) 27
3. C) 28
4. D) 29
5. E) 30

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Na Etapa 1 o quadrado tem lado 1 cm. A Etapa 2 usa um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa 1, cujos catetos medem 1/raiz de 2. Logo, os novos quadrados da Etapa 2 têm lado 1/raiz de 2.
2. Cada nova etapa aplica a anterior sobre os novos quadrados, então o lado dos novos quadrados é multiplicado por 1/raiz de 2 a cada etapa. Na Etapa n, o lado dos novos quadrados é (1/raiz de 2)^(n-1), ou seja, (2^(-1/2))^(n-1) = 2^(-(n-1)/2).
3. Um décimo de milésimo do lado da Etapa 1 equivale a 0,1/1000 = 10^(-4). Queremos a primeira etapa em que 2^(-(n-1)/2) < 10^(-4), o que equivale a (n-1)/2 > 4 log na base 2 de 10.
4. Como log na base 2 de 10 é aproximadamente 3,32, temos 4 x 3,32 = 13,29. Então (n-1)/2 > 13,29, o que dá n-1 > 26,58. Como n é inteiro, n-1 deve ser pelo menos 27, portanto n deve ser pelo menos 28.
5. Verificação: na Etapa 27 o lado seria 2^(-13) x raiz de 2, que é cerca de 1,73 x 10^(-4), ainda maior que 10^(-4). Na Etapa 28, o lado é 2^(-13,5), cerca de 8,6 x 10^(-5), que é menor que 10^(-4). Portanto a resposta é a Etapa 28, alternativa C.
6. Por que as outras estão erradas: a A (26) fica aquém do limite, pois na Etapa 26 o lado ainda é cerca de 1,7 x 10^(-4); a B (27) ainda não é suficiente, pois o lado da Etapa 27 é acima de 10^(-4); a D (29) e a E (30) são etapas posteriores, nas quais o lado já é menor que o limite, mas não são a primeira vez em que isso acontece.

💡 Dica: Calcule a medida dos lados dos quadrados em cada etapa usando propriedades do triângulo retângulo isósceles.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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