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Observe a simetria do corpo humano na figura 11 e considere um quadrado inscrito em um círculo de raio R…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT307

Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Observe a simetria do corpo humano na figura 11 e considere um quadrado inscrito em um círculo de raio R, conforme a figura 12, a seguir. A área da região sombreada é dada por: UEL - 2013

A) A = R^2(p - v2)
B) A = R^2(p - 2)/2
C) A = R^2(p^2 - 4)/2
D) A = R^2(p - v2)/4
E) A = R^2(p^2 - v2)/4

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Identifique os dados. O círculo tem raio R, logo sua área é pi vezes R ao quadrado. O quadrado está inscrito nesse círculo, então suas diagonais são diâmetros, medindo 2R. Passo 2: Calcule a área do quadrado. Como a diagonal d = 2R e a área de um quadrado é d^2/2, temos (2R)^2/2 = 4R^2/2 = 2R^2. Passo 3: Calcule a região entre o círculo e o quadrado. Subtraia a área do quadrado da área do círculo: pi R^2 - 2R^2 = R^2(pi - 2). Esses são os quatro segmentos circulares que sobram fora do quadrado. Passo 4: Use a simetria. A figura 11 mostra simetria do corpo, e a região sombreada na figura 12 corresponde a metade da região entre o círculo e o quadrado. Assim, a área sombreada é R^2(pi - 2)/2, que é a alternativa B. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A usa raiz de 2, que é o lado do quadrado, no lugar de sua área 2R^2, e não divide pela simetria. C eleva pi ao quadrado, o que não tem relação com a área do círculo, e usa 4 como área do quadrado. D usa raiz de 2 como área e ainda divide por 4, o que não corresponde à simetria da figura. E eleva pi ao quadrado e usa raiz de 2, combinando dois erros conceituais, e divide por 4.

💡 Dica: Use a fórmula da área do círculo e do quadrado para calcular a área sombreada.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceituala que mais engana

Confunde a área do quadrado com seu lado: subtrai raiz de 2, que é o lado do quadrado para R = 1, em vez de 2R^2. Também esquece de considerar a metade da região pela simetria.

Por que engana: Confundir a fórmula da área do quadrado inscrito com a do círculo, aplicando incorretamente os valores de R e p.

B Correta

CORRETA. A fórmula correta para a área da região sombreada é A = R^2(p - 2)/2.

C Erradaerro: Conceitual

Trata a área do círculo como pi^2 R^2 e assume que a área do quadrado é 4R^2 (lado 2R). O aluno não percebe que a diagonal do quadrado é o diâmetro, e não o lado.

D Erradaerro: Conceitual

Usa raiz de 2 como área do quadrado, o que é incorreto, e depois divide por 4 sem justificativa de simetria. Mistura o lado do quadrado com a área.

E Erradaerro: Procedimental

Eleva pi ao quadrado, tratando a área do círculo como pi^2 R^2 em vez de pi R^2, e ainda usa raiz de 2 como área do quadrado. O cálculo fica incorreto em duas partes.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

área de figuras geométricas

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

área de figuras geométricas · simetria no corpo humano

📚 Reveja

Revisar cálculo de áreas de círculos e quadrados e relações entre eles.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a fórmula da área do quadrado inscrito com a do círculo, aplicando incorretamente os valores de R e p.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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